Μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση τραπεζίου.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

Ίσοι και εφαπτόμενοι κύκλοι , ακτίνας

ο καθένας .

Το

είναι κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου NSTL

.

#2

Καλησπέρα σε όλους. Επιχείρησα μια προσέγγιση, αλλά η συνάρτηση που προέκυψε δεν είναι τόσο συνεργάσιμη. Κατέφυγα σε χρήση λογισμικού για προσέγγιση.

: 05-01-2022 Γεωμετρία.png (36.94 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

Έστω οι μοναδιαίοι εφαπτόμενοι κύκλοι $\displaystyle {C_1}:\;{x^2} + {y^2} = 1,\;\;{C_2}:\;{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1$

Η κοινή τους εξωτερική εφαπτομένη έχει εξίσωση $\displaystyle y = 1$ , οπότε $\displaystyle N\left( {0,1} \right),\;L\left( {2,1} \right)$ .

Έστω $\displaystyle S\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\eta \mu \varphi } \right)$ σημείο του C_1

. Είναι

, οπότε όταν $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi < 0 \Leftrightarrow \varphi \in \left( {\frac{\pi }{2},\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ έχουμε ισοσκελές τραπέζιο, όπως ζητά η εκφώνηση, ενώ αν ήταν $\displaystyle \varphi \in \left[ {0,\;\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left[ {\frac{{3\pi }}{2},\;2\pi } \right]$ θα είχαμε παραλληλόγραμμο.

Λόγω συμμετρίας του σχήματος, αρκεί να βρούμε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου NKMS

, όπου $\displaystyle {\rm K}\left( {1,1} \right),\;{\rm M}\left( {1,\;\eta \mu \varphi } \right)$ .

Είναι $\displaystyle \left( {NKMS} \right) = \frac{{2 - \sigma \upsilon \nu \varphi }}{2} \cdot \left( {1 - \eta \mu \varphi } \right)$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \left( {2 - \sigma \upsilon \nu x} \right)\left( {1 - \eta \mu x} \right),\;\;x \in \left( {\frac{\pi }{2},\;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \eta \mu x - \eta {\mu ^2}x + \sigma \upsilon {\nu ^2}x - 2\sigma \upsilon \nu x$

που δίνει μέγιστο για $\displaystyle \varphi \simeq \frac{{13\pi }}{{10}}$ (με λογισμικό).

KARKAR · #3

: max trap.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές

Παίρνοντας όπως ο Γιώργος την ακτίνα r=1

, βρίσκουμε το εμβαδόν του μισού τραπεζίου

$A(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)(2+\sqrt{1-x^2})$ , δηλαδή : $E(x)=(x+1)(2+\sqrt{1-x^2})$ .

Η συνάρτηση αυτή επίσης δεν είναι "συνεργάσιμη" ( ωραίος όρος ! ) , μπορούμε πάντως να βρούμε

την παράγωγό της . Για την ιστορία είναι : $max(E)\simeq 4,68175$ για : $x\simeq 0.817183$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 05, 2022 6:47 pm
Μεγιστοποίηση τραπεζίου.pngΊσοι και εφαπτόμενοι κύκλοι , ακτίνας ο καθένας .

Το είναι κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

: Μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου.ΚΑ.png (17.41 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

Βρίσκω $\displaystyle {(NSTL)_{\max }} \simeq 4,68175{r^2}$ όταν $ST\simeq 3,1527576r.$ Βλέπω ότι ο Θανάσης έγραψε ήδη το αποτέλεσμα. Δυο λόγια για τη λύση.

Αν ST=x

τότε $\displaystyle SD = \frac{{x - 2r}}{2}$ και $\displaystyle (NSTL) = \frac{{x + 2r}}{2}(r + OD),$ όπου $\displaystyle OD = \frac{{\sqrt {4rx - {x^2}} }}{2}.$

Άρα καταλήγουμε στη μη συνεργάσιμη συνάρτηση $\boxed{f(x) = (NSTL) = \frac{{x + 2r}}{4}\left( {2 + \sqrt {4rx - {x^2}} } \right)}$

Για την ακρίβεια στη θέση της μεγιστοποίησης είναι $\boxed{x = ST = \frac{r}{3}\left( {2 + \sqrt[3]{{62 - 3\sqrt {183} }} + \sqrt[3]{{62 + 3\sqrt {183} }}} \right)}$

Μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου

Μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση