Ελάχιστο τσάκισης

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13134
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστο τσάκισης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 07, 2021 9:36 am

Ελάχιστο  τσάκισης.png
Ελάχιστο τσάκισης.png (11.76 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Στο ορθογώνιο του σχήματος είναι : AB=8 , BC=5 . Διπλώνουμε το χαρτί , έτσι ώστε

η κορυφή D να βρεθεί στην θέση D' πάνω στην AB . Βρείτε το ελάχιστο της τσάκισης TS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11154
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστο τσάκισης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 07, 2021 11:40 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 07, 2021 9:36 am
Ελάχιστο τσάκισης.png Στο ορθογώνιο του σχήματος είναι : AB=8 , BC=5 . Διπλώνουμε το χαρτί , έτσι ώστε

η κορυφή D να βρεθεί στην θέση D' πάνω στην AB . Βρείτε το ελάχιστο της τσάκισης TS .
Θέτω DT=TD'=x, DS=SD'=y, άρα \displaystyle {(AD')^2} = {x^2} - {(5 - x)^2} = 10x - 25 και DD'=\sqrt{10x}.
Ελάχιστο τσάκισης.png
Ελάχιστο τσάκισης.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές
Πτολεμαίος(*) στο εγγράψιμο DTD'S, \displaystyle 2xy = TS \cdot \sqrt {10x}  \Leftrightarrow \frac{{2xy}}{{\sqrt {10x} }} = TS = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{5{x^2}}}{{2x - 5}}

Οπότε, \displaystyle T{S^2} = {x^2} + \frac{{5{x^2}}}{{2x - 5}} \Leftrightarrow \boxed{f(x) = T{S^2} = \frac{{2{x^3}}}{{2x - 5}},0 < x < 5}

\displaystyle f'(x) = \frac{{2{x^2}(4x - 15)}}{{{{(2x - 5)}^2}}}, απ' όπου προκύπτει ότι για \boxed{x=\dfrac{15}{4}} έχουμε \boxed{ T{S_{\min }} = \frac{{15\sqrt 3 }}{4}}


ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το μήκος του AB δεν μας ενδιαφέρει, αρκεί να είναι \displaystyle AB > \frac{{15\sqrt 2 }}{4} που είναι η τιμή του y στη θέση της ελαχιστοποίησης του ST.

(*) Αντί για Πτολεμαίο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τη σχέση bc=ah_a σε ορθογώνιο τρίγωνο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13899
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστο τσάκισης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 08, 2021 9:58 pm

Παραλλαγή, με βάση το σχήμα του Γιώργου:

Έστω S' η προβολή του S στην AB. Είναι τότε \displaystyle{AD' +D'S' = AS' = DS}, οπότε \sqrt {x^2-(5-x)^2} + \sqrt {y^2-5^2}=y. Έπεται \sqrt {10x-25}=  y-\sqrt {y^2-5^2}. Λύνοντας ως προς x θα βρούμε

x= \dfrac {1}{5}(y^2+y\sqrt {y^2-25}).

Oπότε το ελάχιστο που ψάχνουμε ανάγεται στην εύρεση του ελάχιστου του ST^2=x^2+y^2= \dfrac {1}{5}(6y^2+y\sqrt {y^2-25}). Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες