Ελάχιστο τσάκισης

KARKAR · #1

: Ελάχιστο τσάκισης.png (11.76 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

Στο ορθογώνιο του σχήματος είναι : AB=8 , BC=5

. Διπλώνουμε το χαρτί , έτσι ώστε

η κορυφή

να βρεθεί στην θέση

πάνω στην

. Βρείτε το ελάχιστο της τσάκισης

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 07, 2021 9:36 am
Ελάχιστο τσάκισης.png Στο ορθογώνιο του σχήματος είναι : . Διπλώνουμε το χαρτί , έτσι ώστε

η κορυφή να βρεθεί στην θέση πάνω στην . Βρείτε το ελάχιστο της τσάκισης .

Θέτω

άρα $\displaystyle {(AD')^2} = {x^2} - {(5 - x)^2} = 10x - 25$ και $DD'=\sqrt{10x}.$

: Ελάχιστο τσάκισης.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές

Πτολεμαίος(*) στο εγγράψιμο DTD'S,

$\displaystyle 2xy = TS \cdot \sqrt {10x} \Leftrightarrow \frac{{2xy}}{{\sqrt {10x} }} = TS = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{5{x^2}}}{{2x - 5}}$

Οπότε, $\displaystyle T{S^2} = {x^2} + \frac{{5{x^2}}}{{2x - 5}} \Leftrightarrow$ $\boxed{f(x) = T{S^2} = \frac{{2{x^3}}}{{2x - 5}},0 < x < 5}$

$\displaystyle f'(x) = \frac{{2{x^2}(4x - 15)}}{{{{(2x - 5)}^2}}},$ απ' όπου προκύπτει ότι για $\boxed{x=\dfrac{15}{4}}$ έχουμε $\boxed{ T{S_{\min }} = \frac{{15\sqrt 3 }}{4}}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το μήκος του

δεν μας ενδιαφέρει, αρκεί να είναι $\displaystyle AB > \frac{{15\sqrt 2 }}{4}$ που είναι η τιμή του

στη θέση της ελαχιστοποίησης του ST.

(*) Αντί για Πτολεμαίο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τη σχέση bc=ah_a

σε ορθογώνιο τρίγωνο.

#3

Παραλλαγή, με βάση το σχήμα του Γιώργου:

Έστω

η προβολή του

στην

. Είναι τότε $\displaystyle{AD' +D'S' = AS' = DS}$ , οπότε $\sqrt {x^2-(5-x)^2} + \sqrt {y^2-5^2}=y$ . Έπεται $\sqrt {10x-25}= y-\sqrt {y^2-5^2}$ . Λύνοντας ως προς

θα βρούμε

$x= \dfrac {1}{5}(y^2+y\sqrt {y^2-25})$ .

Oπότε το ελάχιστο που ψάχνουμε ανάγεται στην εύρεση του ελάχιστου του $ST^2=x^2+y^2= \dfrac {1}{5}(6y^2+y\sqrt {y^2-25})$ . Και λοιπά.

Ελάχιστο τσάκισης

Ελάχιστο τσάκισης

Re: Ελάχιστο τσάκισης

Re: Ελάχιστο τσάκισης

Μέλη σε σύνδεση