Σταθερό γινόμενο 2

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11154
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σταθερό γινόμενο 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 03, 2021 6:52 pm

[attachment=0]Σταθερό γινόμενο 2.png[/attachment]
Το M κινείται στην πλευρά BC τετραγώνου ABCD πλευράς a και κέντρου O. Αν η DM τέμνει την AB στο E και

η OM την CE στο N, να δείξετε ότι το γινόμενο OM\cdot ON είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου M.
Συνημμένα
Σταθερό γινόμενο 2.png
Σταθερό γινόμενο 2.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2130
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Δεκ 03, 2021 9:15 pm

\bullet Θεωρούμε το μη κυρτό τετράπλευρο ONCB ως το εκφυλισμένο εξάγωνο ONCCBB και παρατηρούμε ότι τα σημεία M\equiv ON\cap CB και E\equiv NC\cap BB και D\equiv CC\cap BO είναι συνευθειακά.

Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal, έχουμε ότι τα σημεία O,\ N,\ C,\ B είναι ομοκυκλικά.

Το μεταβλητό σημείο N δηλαδή, ανήκει στον περίκυκλο έστω (K) του τριγώνου \vartriangle OBC και άρα, ισχύει \angle ONC = \angle OBC = 45^{o}\ \ \ ,(1)
f=179 t=70652.PNG
Σταθερό γινόμενο 2.
f=179 t=70652.PNG (17.77 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
Από (1) και \angle OCB = 45^{o}\Rightarrow \angle ONC = \angle OCB\ \ \ ,(2)

Από (2) προκύπτει ότι η ευθεία OC εφάπτεται του περίκυκλου έστω (L) του μεταβλητού τριγώνου \vartriangle MNC στο σημείο C.

Συμπεραίνεται τώρα, ότι ισχύει \boxed{(OM)(ON) = (OC)^{2}} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι ωραία, όταν προλαβαίνεις τους "Λύτες τσιτάχ". :lol:
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Σάβ Δεκ 04, 2021 9:28 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1544
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Δεκ 04, 2021 2:22 am

Καλημέρα!
4-12 Σταθερό γινόμενο.png
4-12 Σταθερό γινόμενο.png (170.86 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
Θεωρώ το N ως τομή της OM με τον κύκλο των B,O,C (διαμέτρου BC). Η CN τέμνει την AB στο E.

Θα δείξουμε ότι τα D,M,E είναι συνευθειακά.

Τα ορθ. τρίγωνα BEC,BCN είναι όμοια, ενώ η NM διχοτόμος της ορθής \widehat{BNC} αφού OB=OC.

Έχουμε λοιπόν \dfrac{BE}{DC}=\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{BN}{NC}=\dfrac{BM}{MC}.

Τότε και τα ορθ. τρίγωνα BEM,DMC είναι όμοια με \widehat{DMC}= \widehat{BME}.

Τα B,M,C είναι συνευθειακά άρα και τα D,M,E συνευθειακά επίσης.

Η συνέχεια όπως και ο Κώστας πριν. Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5680
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Δεκ 04, 2021 6:41 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Δεκ 03, 2021 6:52 pm
Σταθερό γινόμενο 2.png
Το M κινείται στην πλευρά BC τετραγώνου ABCD πλευράς a και κέντρου O. Αν η DM τέμνει την AB στο E και

η OM την CE στο N, να δείξετε ότι το γινόμενο OM\cdot ON είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου M.
Αν F είναι η τομή των CA, NB και K η τομή των DB, NE, τότε, λόγω της "συντρεχουσότητας" στο M και του θεωρήματος Desarges και επειδή οι DC, BE είναι παράλληλες η FK θα περνά από το "επ΄ άπειρο σημείο τομής" των DC, BE οπότε θα είναι παράλληλη τους. Έτσι το B καθίσταται ορθόκεντρο του τριγώνου CFK, άρα η BN είναι κάθετη στην CE. Άρα τα σημεία O,B,N,C είναι ομοκυκλικά κύκλου με διάμετρο BC κέντρου έστω Q. Αν Z το αντιδιαμετρικό του O, τότε εύκολα παίρνουμε ότι το ζητούμενο γινόμενο μας ισούται με το σταθερό 2{OQ^2}.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2169
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Δεκ 04, 2021 9:44 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Δεκ 03, 2021 6:52 pm
Σταθερό γινόμενο 2.png
Το M κινείται στην πλευρά BC τετραγώνου ABCD πλευράς a και κέντρου O. Αν η DM τέμνει την AB στο E και

η OM την CE στο N, να δείξετε ότι το γινόμενο OM\cdot ON είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου M.
Θεωρούμε σημείο Z στην AB ώστε AZ=MB οπότε και CM=ZB άρα \triangle CZB= \triangle DCM \Rightarrow CZ \bot DM

Έτσι,M ορθόκεντρο του \triangle CZE .Επιπλέον,λόγω της προφανούς ισότητας των τριγώνων OAZ,OMB οι γωνίες \omega

θα είναι ίσες και  ZO \bot OM ,άρα \angle MZB= \angle MCE=  \angle \omega

Τότε όμως \angle AHO= \angle OCN=45^0+ \omega \Rightarrow AHCN εγγράψιμμο και

CO.OA=HO.ON=OM.ON \Rightarrow  \dfrac{a^2}{2} =OM.ON σταθερό
Σταθερό γινόμενο 2.png
Σταθερό γινόμενο 2.png (91.56 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4349
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Δεκ 04, 2021 10:22 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Δεκ 03, 2021 6:52 pm
Σταθερό γινόμενο 2.png
Το M κινείται στην πλευρά BC τετραγώνου ABCD πλευράς a και κέντρου O. Αν η DM τέμνει την AB στο E και

η OM την CE στο N, να δείξετε ότι το γινόμενο OM\cdot ON είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου M.
Μιας και μαζεύτηκε εδώ η ωραία γεωμετρική παρέα, ας πω και εγώ την άποψη μου για την εγγραψιμότητα φυσικά του εν λόγω τετραπλεύρου.
Σταθερό γινόμενο 2.png
Σταθερό γινόμενο 2.png (23.08 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές
Αν CT\bot DE τότε προφανώς τα τετράπλευρα DCTO,CTBE είναι εγγράψιμα σε κύκλους διαμέτρων DC,CE αντίστοιχα. Άρα
\angle DTO=\angle DCO={{45}^{0}}=\angle MBO\Rightarrow OTMB εγγράψιμο οπότε:
\angle BON\equiv \angle BOM=\angle BTM\equiv \angle BTE=\angle BCE\equiv \angle BCN και συνεπώς τα O,B,N,C είναι ομοκυκλικά.

Βέβαια (κατά τη γνώμη μου) οι πιο κομψές αποδείξεις είναι του Κώστα και του Σωτήρη , αλλά για να τα δεις αυτά πρέπει να είσαι Βήττας ή Λουρίδας !!!


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8360
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 05, 2021 12:10 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Δεκ 03, 2021 6:52 pm
Σταθερό γινόμενο 2.png
Το M κινείται στην πλευρά BC τετραγώνου ABCD πλευράς a και κέντρου O. Αν η DM τέμνει την AB στο E και

η OM την CE στο N, να δείξετε ότι το γινόμενο OM\cdot ON είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου M.
Ας είναι T η προβολή του M στην OB . Θέτω : BE = x\,\,,\,\,BM = y\,,\,BT = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OT = m.

Επειδή , \vartriangle MBE \approx \vartriangle DAE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TBM \approx \vartriangle OBC θα ισχύουν ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{y}{a} = \frac{x}{{x + a}} \hfill \\ 
  \frac{y}{a} = \frac{k}{{k + m}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{y}{{a - y}} = \frac{x}{a} \hfill \\ 
  \frac{y}{{a - y}} = \frac{k}{m} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{x}{a} = \frac{k}{m}} .
.
Σταθερό γινόμενο 2_ok.png
Σταθερό γινόμενο 2_ok.png (19.23 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές
.
Δηλαδή \dfrac{{BE}}{{BC}} = \dfrac{{MT}}{{OT}} \Rightarrow \vartriangle BEC \approx \vartriangle TMO ( ορθογώνια με κάθετες πλευρές ανάλογες)

Άμεση συνέπεια : \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} οπότε το τετράπλευρο OBNC είναι εγράψιμο άρα , \widehat {{\theta _{}}} = 45^\circ \,\,\left( 1 \right) . Έστω ότι η MO τέμνει την AD στο S, άρα SO = OM\,\,\,\left( 2 \right)

Η \left( 1 \right) εξασφαλίζει ότι τα σημεία A,N,C,S είναι ομοκυκλικά και άρα λόγω της \left( 2 \right) έχω: \boxed{OM \cdot ON = SO \cdot ON = AO \cdot OC = \frac{{{a^2}}}{2}}


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2130
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Δεκ 05, 2021 12:18 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Σάβ Δεκ 04, 2021 6:41 pm
Αν F είναι η τομή των CA, NB και K η τομή των DB, NE, τότε, λόγω της "συντρεχουσότητας" στο M και του θεωρήματος Desarges και επειδή οι DC, BE είναι παράλληλες η FK θα περνά από το "επ΄ άπειρο σημείο τομής" των DC, BE οπότε θα είναι παράλληλη τους. Έτσι το B καθίσταται ορθόκεντρο του τριγώνου CFK, άρα η BN είναι κάθετη στην CE. Άρα τα σημεία O,B,N,C είναι ομοκυκλικά κύκλου με διάμετρο BC κέντρου έστω Q. Αν Z το αντιδιαμετρικό του O, τότε εύκολα παίρνουμε ότι το ζητούμενο γινόμενο μας ισούται με το σταθερό 2{OQ^2}.
f=179 t=70652.PNG
Σταθερό γινόμενο 2 - Απόδειξη Σωτήρη Λουρίδα.
f=179 t=70652.PNG (22.99 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές
Για την όμορφη λύση του φίλτατου Σωτήρη, δώρο το σχήμα έτσι ώστε να εμφανίζεται ολόκληρο στην προεπισκόπηση εκτύπωσης.

Κώστας Βήττας


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4991
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Δεκ 05, 2021 12:56 pm

Καλημέρα σε όλους.
Σταθερό γινόμενο 2.png
Σταθερό γινόμενο 2.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές

Σε Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων παίρνουμε:

A(-a,0), B(0,0), C(0,a), D(-a,a), M(0,t), 0<t<a, οπότε,  \displaystyle O\left( { - \frac{a}{2},\;\frac{a}{2}} \right) η τομή των AC, BD.

 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
DM:\;y = \frac{{t - a}}{a}x + t\\ 
AB:y = 0 
\end{array} \right.\; \Rightarrow \;\;E\left( {\frac{{at}}{{a - t}},0} \right)

 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
CE:\;y = \left( {\frac{{t - a}}{t}} \right)x + a\\ 
OM:\;y = \left( {\frac{{2t - a}}{a}} \right)x + t 
\end{array} \right.\; \Rightarrow N\left( {\frac{{{a^2}t - a{t^2}}}{{2{t^2} - 2at + {a^2}}},\;\frac{{a{t^2}}}{{2{t^2} - 2at + {a^2}}}} \right)

Άρα  \displaystyle \left( {OM} \right)\left( {ON} \right) = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + {{\left( {t - \frac{a}{2}} \right)}^2}}  \cdot \frac{{{a^2}}}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{a}{{2{t^2} - 2at + {a^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2t - a}}{{2{t^2} - 2at + {a^2}}}} \right)}^2}}

 \displaystyle  = \frac{{\sqrt {2{t^2} - 2at + {a^2}} }}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 2 \sqrt {2{t^2} - 2at + {a^2}} }}{{2\left( {2{t^2} - 2at + {a^2}} \right)}} = \frac{{{a^2}}}{2} , σταθερό.




ΣΧΟΛΙΟ: Θέτοντας a=2 οι εξισώσεις γίνονται απλούστερες, το γινόμενο προκύπτει σταθερό, αλλά δεν είναι εμφανές στο αποτέλεσμα το \frac{a^2}{2}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11154
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 07, 2021 10:41 am

Ευχαριστώ τη Dream Team για τις πολύ ωραίες λύσεις και δίνω άλλη μία με τους συμβολισμούς του σχήματος.
Σταθερό γινόμενο 2β.png
Σταθερό γινόμενο 2β.png (17.57 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
\displaystyle \frac{{BE}}{{DC}} = \frac{{BM}}{{MC}} \Leftrightarrow \frac{{BE}}{a} = \frac{{a - x}}{x} \Leftrightarrow \frac{{AE}}{a} = \frac{a}{x} \Leftrightarrow \boxed{AE = \frac{{{a^2}}}{x}}

\displaystyle \frac{{CO}}{{OM}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2x}},\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{{a^2}/x}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2x}} κι επειδή \displaystyle O\widehat CM = E\widehat AC = 45^\circ, τα τρίγωνα CMO, AEC

είναι όμοια, άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και εύκολα προκύπτει ότι και τα OCN, AEC είναι όμοια. Οπότε

C\widehat NO=45^\circ, δηλαδή η OC εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου CMN και \boxed{OM \cdot ON = O{C^2} = \frac{{{a^2}}}{2}}


ΥΓ. Η αρχική μου λύση είναι παρόμοια με του Γιώργου Μήτσιου.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11154
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό γινόμενο 2

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 21, 2021 10:59 am

Άλλη μία, κάνοντας χρήση αυτής (η απόδειξη ανήκει στον Stan Fulger). Αρκεί να δείξω ότι \displaystyle BN \bot CE.
Σταθερό γινόμενο 2γ.png
Σταθερό γινόμενο 2γ.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές
\displaystyle a \cdot \frac{{EN}}{{NC}} + BE \cdot \frac{{AO}}{{OC}} = (a + BE)\frac{{BM}}{{MC}} = (a + BE)\frac{{BE}}{{DC}}\mathop  \Rightarrow \limits^{DC = a}

\displaystyle a \cdot \frac{{EN}}{{NC}} + BE = BE + \frac{{B{E^2}}}{a} \Leftrightarrow \frac{{EN}}{{NC}} = \frac{{B{E^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{B{E^2}}}{{B{C^2}}}, που αποδεικνύει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες