Σταθερό γινόμενο 2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Σταθερό γινόμενο 2
[attachment=0]Σταθερό γινόμενο 2.png[/attachment]
Το κινείται στην πλευρά τετραγώνου πλευράς και κέντρου Αν η τέμνει την στο και
η την στο να δείξετε ότι το γινόμενο είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου
Το κινείται στην πλευρά τετραγώνου πλευράς και κέντρου Αν η τέμνει την στο και
η την στο να δείξετε ότι το γινόμενο είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου
- Συνημμένα
-
- Σταθερό γινόμενο 2.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Θεωρούμε το μη κυρτό τετράπλευρο ως το εκφυλισμένο εξάγωνο και παρατηρούμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.
Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal, έχουμε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Το μεταβλητό σημείο δηλαδή, ανήκει στον περίκυκλο έστω του τριγώνου και άρα, ισχύει Από και
Από προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου έστω του μεταβλητού τριγώνου στο σημείο .
Συμπεραίνεται τώρα, ότι ισχύει και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Είναι ωραία, όταν προλαβαίνεις τους "Λύτες τσιτάχ".
Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal, έχουμε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Το μεταβλητό σημείο δηλαδή, ανήκει στον περίκυκλο έστω του τριγώνου και άρα, ισχύει Από και
Από προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου έστω του μεταβλητού τριγώνου στο σημείο .
Συμπεραίνεται τώρα, ότι ισχύει και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Είναι ωραία, όταν προλαβαίνεις τους "Λύτες τσιτάχ".
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Σάβ Δεκ 04, 2021 9:28 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Καλημέρα!
Θεωρώ το ως τομή της με τον κύκλο των (διαμέτρου ). Η τέμνει την στο .
Θα δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά.
Τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια, ενώ η διχοτόμος της ορθής αφού .
Έχουμε λοιπόν .
Τότε και τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια με .
Τα είναι συνευθειακά άρα και τα συνευθειακά επίσης.
Η συνέχεια όπως και ο Κώστας πριν. Φιλικά, Γιώργος.
Θα δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά.
Τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια, ενώ η διχοτόμος της ορθής αφού .
Έχουμε λοιπόν .
Τότε και τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια με .
Τα είναι συνευθειακά άρα και τα συνευθειακά επίσης.
Η συνέχεια όπως και ο Κώστας πριν. Φιλικά, Γιώργος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Αν είναι η τομή των και η τομή των τότε, λόγω της "συντρεχουσότητας" στο και του θεωρήματος Desarges και επειδή οι είναι παράλληλες η θα περνά από το "επ΄ άπειρο σημείο τομής" των οπότε θα είναι παράλληλη τους. Έτσι το καθίσταται ορθόκεντρο του τριγώνου , άρα η είναι κάθετη στην Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά κύκλου με διάμετρο κέντρου έστω Αν το αντιδιαμετρικό του , τότε εύκολα παίρνουμε ότι το ζητούμενο γινόμενο μας ισούται με το σταθερό .george visvikis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 03, 2021 6:52 pmΣταθερό γινόμενο 2.png
Το κινείται στην πλευρά τετραγώνου πλευράς και κέντρου Αν η τέμνει την στο και
η την στο να δείξετε ότι το γινόμενο είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Θεωρούμε σημείο στην ώστε οπότε και άραgeorge visvikis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 03, 2021 6:52 pmΣταθερό γινόμενο 2.png
Το κινείται στην πλευρά τετραγώνου πλευράς και κέντρου Αν η τέμνει την στο και
η την στο να δείξετε ότι το γινόμενο είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου
Έτσι, ορθόκεντρο του .Επιπλέον,λόγω της προφανούς ισότητας των τριγώνων οι γωνίες
θα είναι ίσες και ,άρα
Τότε όμως εγγράψιμμο και
σταθερό
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Μιας και μαζεύτηκε εδώ η ωραία γεωμετρική παρέα, ας πω και εγώ την άποψη μου για την εγγραψιμότητα φυσικά του εν λόγω τετραπλεύρου. Αν τότε προφανώς τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα σε κύκλους διαμέτρων αντίστοιχα. Άραgeorge visvikis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 03, 2021 6:52 pmΣταθερό γινόμενο 2.png
Το κινείται στην πλευρά τετραγώνου πλευράς και κέντρου Αν η τέμνει την στο και
η την στο να δείξετε ότι το γινόμενο είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου
εγγράψιμο οπότε:
και συνεπώς τα είναι ομοκυκλικά.
Βέβαια (κατά τη γνώμη μου) οι πιο κομψές αποδείξεις είναι του Κώστα και του Σωτήρη , αλλά για να τα δεις αυτά πρέπει να είσαι Βήττας ή Λουρίδας !!!
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Ας είναι η προβολή του στην . Θέτω : .george visvikis έγραψε: ↑Παρ Δεκ 03, 2021 6:52 pmΣταθερό γινόμενο 2.png
Το κινείται στην πλευρά τετραγώνου πλευράς και κέντρου Αν η τέμνει την στο και
η την στο να δείξετε ότι το γινόμενο είναι σταθερό, ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου
Επειδή , θα ισχύουν ταυτόχρονα:
.
. .
Δηλαδή ( ορθογώνια με κάθετες πλευρές ανάλογες)
Άμεση συνέπεια : οπότε το τετράπλευρο είναι εγράψιμο άρα , . Έστω ότι η τέμνει την στο , άρα
Η εξασφαλίζει ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά και άρα λόγω της έχω:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Για την όμορφη λύση του φίλτατου Σωτήρη, δώρο το σχήμα έτσι ώστε να εμφανίζεται ολόκληρο στην προεπισκόπηση εκτύπωσης.S.E.Louridas έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 04, 2021 6:41 pmΑν είναι η τομή των και η τομή των τότε, λόγω της "συντρεχουσότητας" στο και του θεωρήματος Desarges και επειδή οι είναι παράλληλες η θα περνά από το "επ΄ άπειρο σημείο τομής" των οπότε θα είναι παράλληλη τους. Έτσι το καθίσταται ορθόκεντρο του τριγώνου , άρα η είναι κάθετη στην Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά κύκλου με διάμετρο κέντρου έστω Αν το αντιδιαμετρικό του , τότε εύκολα παίρνουμε ότι το ζητούμενο γινόμενο μας ισούται με το σταθερό .
Κώστας Βήττας
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Καλημέρα σε όλους.
Σε Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων παίρνουμε:
, οπότε, η τομή των .
Άρα
, σταθερό.
ΣΧΟΛΙΟ: Θέτοντας οι εξισώσεις γίνονται απλούστερες, το γινόμενο προκύπτει σταθερό, αλλά δεν είναι εμφανές στο αποτέλεσμα το .
Σε Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων παίρνουμε:
, οπότε, η τομή των .
Άρα
, σταθερό.
ΣΧΟΛΙΟ: Θέτοντας οι εξισώσεις γίνονται απλούστερες, το γινόμενο προκύπτει σταθερό, αλλά δεν είναι εμφανές στο αποτέλεσμα το .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Ευχαριστώ τη Dream Team για τις πολύ ωραίες λύσεις και δίνω άλλη μία με τους συμβολισμούς του σχήματος.
κι επειδή τα τρίγωνα
είναι όμοια, άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και εύκολα προκύπτει ότι και τα είναι όμοια. Οπότε
δηλαδή η εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου και
ΥΓ. Η αρχική μου λύση είναι παρόμοια με του Γιώργου Μήτσιου.
κι επειδή τα τρίγωνα
είναι όμοια, άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και εύκολα προκύπτει ότι και τα είναι όμοια. Οπότε
δηλαδή η εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου και
ΥΓ. Η αρχική μου λύση είναι παρόμοια με του Γιώργου Μήτσιου.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Σταθερό γινόμενο 2
Άλλη μία, κάνοντας χρήση αυτής (η απόδειξη ανήκει στον Stan Fulger). Αρκεί να δείξω ότι
που αποδεικνύει το ζητούμενο.
που αποδεικνύει το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες