Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13152
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 26, 2021 1:32 pm

Υπολογισμός τμήματος  από αναπάντεχα  δεδομένα.png
Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα.png (5.44 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Το εμβαδόν E , στο μεταβλητών κάθετων πλευρών , ορθογώνιο τρίγωνο OAB ,

είναι σταθερό . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος OS , συναρτήσει του E .

Βρείτε και τον γεωμετρικό τόπο του σημείου S . ( Μπορείτε να αρχίσετε από αυτό ) .

Είναι φανερό ότι το εμβαδόν ολόκληρου του τριγώνου είναι 3E ( συμπλήρωση ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11175
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 26, 2021 6:38 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 1:32 pm
Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα.pngΤο εμβαδόν E , στο μεταβλητών κάθετων πλευρών , ορθογώνιο τρίγωνο OAB ,

είναι σταθερό . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος OS , συναρτήσει του E .

Βρείτε και τον γεωμετρικό τόπο του σημείου S . ( Μπορείτε να αρχίσετε από αυτό ) .

Είναι φανερό ότι το εμβαδόν ολόκληρου του τριγώνου είναι 3E ( συμπλήρωση ) .
Έστω OA=a, OB=b και S(x,y). Λόγω των εμβαδών είναι ab=6E, BS=2SA και

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{x}{a} = \dfrac{2}{3}\\ 
\\ 
\dfrac{y}{b} = \dfrac{1}{3} 
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{xy}}{{ab}} = \frac{2}{9} \Leftrightarrow xy = \frac{{4E}}{3}
Αναπάντεχα δεδομένα 3.png
Αναπάντεχα δεδομένα 3.png (11.79 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές
Άρα το S κινείται σε υπερβολή με εξίσωση \boxed{y = \frac{{4E}}{{3x}}}

\displaystyle O{S^2} = {x^2} + {y^2} = {x^2} + \frac{{16{E^2}}}{{9{x^2}}}. Επειδή \displaystyle {x^2} \cdot \frac{{16{E^2}}}{{9{x^2}}} = \frac{{16{E^2}}}{9} σταθερό,

το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν \displaystyle {x^2} = \frac{{4E}}{3}. Άρα, \boxed{ O{S_{\min }} = \sqrt {\frac{{8E}}{3}}}


Σημείωση: Οι κορυφές A, B του τριγώνου OAB είναι συντεταγμένες των σημείων της κόκκινης καμπύλης με εξίσωση y=\dfrac{6E}{x}.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Νοέμ 26, 2021 6:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13926
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 26, 2021 6:57 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 1:32 pm
Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα.pngΤο εμβαδόν E , στο μεταβλητών κάθετων πλευρών , ορθογώνιο τρίγωνο OAB ,

είναι σταθερό . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος OS , συναρτήσει του E .

Βρείτε και τον γεωμετρικό τόπο του σημείου S . ( Μπορείτε να αρχίσετε από αυτό ) .

Είναι φανερό ότι το εμβαδόν ολόκληρου του τριγώνου είναι 3E ( συμπλήρωση ) .
'Εστω OB=a,\, OA=b και έστω ότι η κάθετος από το S στην OB την τέμνει στο C. Επειδή το τρίγωνο ASC είναι το \frac {1}{3} του OAB, έπεται SC= \frac {1}{3}a,\, CA =  \frac {1}{3}b. Άρα

OS^2 = SC^2+OC^2 \ge 2SC\cdot OC = 2 \cdot \dfrac {a}{3}  \cdot \dfrac {2b}{3}  = \dfrac {4ab}{9} = \dfrac {8E}{9}   , με ισότητα ότα SC=OC. Άρα το ελάχιστο OS είναι \dfrac {2\sqrt {2E}}{3}.

Για τον γεωμετρικό τόπο του S, του οποίου οι συντεταγμένες είναι x= \dfrac {2b}{3} ,\, y = \dfrac {a}{3}  , έχουμε xy= \dfrac {2ab}{9} = \dfrac {4E}{3} (υπερβολή).

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος, και με ωραιότατο σχήμα, όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο παρά το γεγονός ότι οι λύσεις έχουν μόνο μικροδιαφορές.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης