Τοξικά μέσα

KARKAR · #1

: Τοξικά μέσα.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Τα σημεία M , N

είναι τα μέσα των ημικυκλίων , τα οποία σχεδιάσαμε στο εξωτερικό τριγώνου ABC

,

με διαμέτρους τις πλευρές του

και

. Αν η πλευρά

, είναι σταθερή και η κορυφή

κινείται

σε σταθερή απόσταση

από την βάση

, υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 25, 2021 1:39 pm
Τοξικά μέσα.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των ημικυκλίων , τα οποία σχεδιάσαμε στο εξωτερικό τριγώνου ,

με διαμέτρους τις πλευρές του και . Αν η πλευρά , είναι σταθερή και η κορυφή κινείται

σε σταθερή απόσταση από την βάση , υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

Αν

είναι το μέσο του

τότε από το θεώρημα του $\displaystyle {\rm{Vecten}}$ το τρίγωνο PMN

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές,

οπότε $\displaystyle MN = MP\sqrt 2.$ Είναι ακόμα, $\displaystyle MB = \frac{{c\sqrt 2 }}{2}$ και με νόμο συνημιτόνου στο MBP:

: Τοξικά μέσα.png (44.63 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

$\displaystyle M{P^2} = {\frac{c}{2}^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - 2\frac{a}{2} \cdot \frac{{c\sqrt 2 }}{2}\cos (45^\circ + B) \Leftrightarrow \frac{{M{N^2}}}{2} = {\frac{c}{2}^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{ac\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{x}{c} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{h}{c}} \right)$

$\displaystyle \frac{{M{N^2}}}{2} = {\frac{c}{2}^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{ax}}{2} + \frac{{ah}}{2}$ με c^2=x^2+h^2.

Άρα: $\displaystyle M{N^2} = {x^2} - ax + ah + {h^2} + \frac{{{a^2}}}{2},$ που ως

τριώνυμο παρουσιάζει για $\boxed{x=\frac{a}{2}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\displaystyle {\left( {M{N_{\min }}} \right)^2} = {\left( {h + \frac{a}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{ M{N_{\min }} = h + \frac{a }{2}}$

Στη θέση αυτή το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές (AB=AC).

KARKAR · #3

: Τοξικά μέσα.png (21.15 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

Η λύση του προτείναντος , κυρίως για την παρουσίαση του λήμματος

Είναι : $\widehat{MAN}=90^0+\hat{A}$ , οπότε : $\cos\widehat{MAN}=-\sin A$

Με νόμο συνημιτόνου στο MAN

, αξιοποίηση του λήμματος και Π . Θ . , βρίσκουμε

ότι : $\displaystyle M{N^2} = x^2-ax + ah + {h^2} + \frac{{{a^2}}}{2},$ και συνεχίζουμε όπως ο Γιώργος .

Γράψτε μιαν απόδειξη ( ή έστω ένα σχόλιο ) , για το "λημματάκι" του σχήματος .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 26, 2021 7:38 pm
Τοξικά μέσα.png Η λύση του προτείναντος , κυρίως για την παρουσίαση του λήμματος

Είναι : $\widehat{MAN}=90^0+\hat{A}$ , οπότε : $\cos\widehat{MAN}=-\sin A$

Με νόμο συνημιτόνου στο , αξιοποίηση του λήμματος και Π . Θ . , βρίσκουμε

ότι : $\displaystyle M{N^2} = x^2-ax + ah + {h^2} + \frac{{{a^2}}}{2},$ και συνεχίζουμε όπως ο Γιώργος .

Γράψτε μιαν απόδειξη ( ή έστω ένα σχόλιο ) , για το "λημματάκι" του σχήματος .

$\displaystyle \bullet$ Εφαρμογή του τύπου $\displaystyle \sin A = \sin (\varphi + \theta ) = \sin\varphi \cos\theta + \sin\theta \cos\varphi = \frac{{xh}}{{cb}} + \frac{{(a - x)h}}{{bc}} = \frac{{ah}}{{bc}}$

$\displaystyle \bullet$ Αλλιώς, $\displaystyle ah = 2(ABC) = bc\sin A,$ κλπ.

Τοξικά μέσα

Τοξικά μέσα

Re: Τοξικά μέσα

Re: Τοξικά μέσα

Re: Τοξικά μέσα

Μέλη σε σύνδεση