Τοξικά μέσα

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13143
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τοξικά μέσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 25, 2021 1:39 pm

Τοξικά  μέσα.png
Τοξικά μέσα.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Τα σημεία M , N είναι τα μέσα των ημικυκλίων , τα οποία σχεδιάσαμε στο εξωτερικό τριγώνου ABC ,

με διαμέτρους τις πλευρές του AB και  AC . Αν η πλευρά a , είναι σταθερή και η κορυφή A κινείται

σε σταθερή απόσταση h από την βάση BC , υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος MN .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11170
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τοξικά μέσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 25, 2021 3:51 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 25, 2021 1:39 pm
Τοξικά μέσα.pngΤα σημεία M , N είναι τα μέσα των ημικυκλίων , τα οποία σχεδιάσαμε στο εξωτερικό τριγώνου ABC ,

με διαμέτρους τις πλευρές του AB και  AC . Αν η πλευρά a , είναι σταθερή και η κορυφή A κινείται

σε σταθερή απόσταση h από την βάση BC , υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος MN .
Αν P είναι το μέσο του BC τότε από το θεώρημα του \displaystyle {\rm{Vecten}} το τρίγωνο PMN είναι ορθογώνιο και ισοσκελές,

οπότε \displaystyle MN = MP\sqrt 2. Είναι ακόμα, \displaystyle MB = \frac{{c\sqrt 2 }}{2} και με νόμο συνημιτόνου στο MBP:
Τοξικά μέσα.png
Τοξικά μέσα.png (44.63 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
\displaystyle M{P^2} = {\frac{c}{2}^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - 2\frac{a}{2} \cdot \frac{{c\sqrt 2 }}{2}\cos (45^\circ  + B) \Leftrightarrow \frac{{M{N^2}}}{2} = {\frac{c}{2}^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{ac\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{x}{c} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{h}{c}} \right)

\displaystyle \frac{{M{N^2}}}{2} = {\frac{c}{2}^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{ax}}{2} + \frac{{ah}}{2} με c^2=x^2+h^2. Άρα: \displaystyle M{N^2} = {x^2} - ax + ah + {h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}, που ως

τριώνυμο παρουσιάζει για \boxed{x=\frac{a}{2}} ελάχιστη τιμή ίση με \displaystyle {\left( {M{N_{\min }}} \right)^2} =  {\left( {h + \frac{a}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \boxed{ M{N_{\min }} = h + \frac{a }{2}}

Στη θέση αυτή το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές (AB=AC).


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13143
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τοξικά μέσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 26, 2021 7:38 pm

Τοξικά  μέσα.png
Τοξικά μέσα.png (21.15 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές
Η λύση του προτείναντος , κυρίως για την παρουσίαση του λήμματος :P

Είναι : \widehat{MAN}=90^0+\hat{A} , οπότε : \cos\widehat{MAN}=-\sin A

Με νόμο συνημιτόνου στο MAN , αξιοποίηση του λήμματος και Π . Θ . , βρίσκουμε

ότι : \displaystyle M{N^2} = x^2-ax + ah + {h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}, και συνεχίζουμε όπως ο Γιώργος .

Γράψτε μιαν απόδειξη ( ή έστω ένα σχόλιο ) , για το "λημματάκι" του σχήματος .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11170
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τοξικά μέσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 26, 2021 7:51 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 26, 2021 7:38 pm
Τοξικά μέσα.png Η λύση του προτείναντος , κυρίως για την παρουσίαση του λήμματος :P

Είναι : \widehat{MAN}=90^0+\hat{A} , οπότε : \cos\widehat{MAN}=-\sin A

Με νόμο συνημιτόνου στο MAN , αξιοποίηση του λήμματος και Π . Θ . , βρίσκουμε

ότι : \displaystyle M{N^2} = x^2-ax + ah + {h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}, και συνεχίζουμε όπως ο Γιώργος .

Γράψτε μιαν απόδειξη ( ή έστω ένα σχόλιο ) , για το "λημματάκι" του σχήματος .
\displaystyle  \bullet Εφαρμογή του τύπου \displaystyle \sin A = \sin (\varphi  + \theta ) = \sin\varphi \cos\theta  + \sin\theta \cos\varphi  = \frac{{xh}}{{cb}} + \frac{{(a - x)h}}{{bc}} = \frac{{ah}}{{bc}}

\displaystyle  \bullet Αλλιώς, \displaystyle ah = 2(ABC) = bc\sin A, κλπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης