Σκακιέρα και αριθμοί

Al.Koutsouridis · #1

Μπορούμε άραγε να τοποθετήσουμε στα κελιά μιας σκακιέρας τους αριθμούς από το

μέχρι το

έτσι, ώστε το άθροισμα των αριθμών σε οποιοδήποτε σχήμα της μορφής (βλ. σχήμα) να διαιρείται με το

;

: Screen Shot 2021-09-26 at 11.08.04.png (4.63 KiB) Προβλήθηκε 1002 φορές

abgd · #2

Όχι γιατί δεν μας φτάνουν τα πολλαπλάσια του 5

Η σκακιέρα μπορεί να καλυφθεί με 16 "τριάδες", όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

: Σκακιέρα.png (5.69 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Σε κάθε "τριάδα" θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα πολλαπλάσιο του 5. Αυτά μέχρι το 64 είναι 12.

Υ.Γ.: Βέβαια η λύση προϋποθέτει ότι το σχήμα της εκφώνησης μπορεί και να περιστραφεί. Δεν είμαι σίγουρος ότι επιτρέπεται!

Al.Koutsouridis · #3

abgd έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 29, 2021 9:43 pm
Σε κάθε "τριάδα" θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα πολλαπλάσιο του 5. Αυτά μέχρι το 64 είναι 12.

Μπορείτε να το εξηγήσετε αυτό το σημείο λίγο παραπάνω; Γιατί σε κάθε "τριάδα" πρέπει να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλάσιο του

; Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να έχουμε την "τριάδα" με τους αριθμούς 1,2,3,4

με άθροισμα

πολλαπλάσιο του

, αλλά αναμεσά τους δεν υπάρχει κανένα πολλαπλάσιο του

.

abgd έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 29, 2021 9:43 pm
Υ.Γ.: Βέβαια η λύση προϋποθέτει ότι το σχήμα της εκφώνησης μπορεί και να περιστραφεί. Δεν είμαι σίγουρος ότι επιτρέπεται!

Επιτρέπεται, ναι.

abgd · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 29, 2021 11:28 pm

abgd έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 29, 2021 9:43 pm
Σε κάθε "τριάδα" θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα πολλαπλάσιο του 5. Αυτά μέχρι το 64 είναι 12.
Μπορείτε να το εξηγήσετε αυτό το σημείο λίγο παραπάνω; Γιατί σε κάθε "τριάδα" πρέπει να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλάσιο του ; Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να έχουμε την "τριάδα" με τους αριθμούς με άθροισμα πολλαπλάσιο του , αλλά αναμεσά τους δεν υπάρχει κανένα πολλαπλάσιο του .

abgd έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 29, 2021 9:43 pm
Υ.Γ.: Βέβαια η λύση προϋποθέτει ότι το σχήμα της εκφώνησης μπορεί και να περιστραφεί. Δεν είμαι σίγουρος ότι επιτρέπεται!
Επιτρέπεται, ναι.

Ο τρόπος με τον οποίο μου λέτε ότι κάνω λάθος είναι λάθος! και λυπάμαι που ασχολήθηκα!
Είναι προφανές το λάθος μου: στο σχήμα δεν έχουμε τριάδα αριθμών αλλά τετράδα

.

#5

abgd έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 29, 2021 9:43 pm
Σε κάθε "τριάδα" θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα πολλαπλάσιο του 5. Αυτά μέχρι το 64 είναι 12.

abgd έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 29, 2021 9:43 pm
Ο τρόπος με τον οποίο μου λέτε ότι κάνω λάθος είναι λάθος! και λυπάμαι που ασχολήθηκα!
Είναι προφανές το λάθος μου: στο σχήμα δεν έχουμε τριάδα αριθμών αλλά τετράδα .

Kαι όμως ο θεματοθέτης Αλ. Κουτσουρίδης έχει δίκιο για την ένστασή του για τα παραπάνω.

Ας τα πάρουμε από την αρχή: Το ότι έγραψες "τριάδα" αντί "τετράδα" όλοι αντιλαμβανόμαστε ότι είναι απλά μία μικρή τυπογραφική αβλεψία. Το ξεπερνάμε αυτό. Η ουσία όμως παραμένει ότι ο ισχυρισμός σου ότι σε κάθε τετράδα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα πολλαπλάσιο του

, δεν τεκμαίρεται. Όπως γράφει ο θεματοθέτης, πώς αποκλείεις μία τετράδα να περιέχει για παράδειγμα τους αριθμούς 1,2,3,4

οι οποίοι έχουν άθροισμα κάποιο πολλαπλάσιο του

, πλην όμως κανένας από τους προσθετέους δεν είναι πολλαπλάσιο του

; Ανάλογα παραδείγματα υπάρχουν πάμπολλα, π.χ. γιατί αποκλείεται η τετράδα 11, 22, 23, 34

με άθροισμα $5\times 18$ αλλά χωρίς να περιέχει πολλαπλάσιο του

;

abgd · #6

Κύριε Λάμπρου και βέβαια έχει δίκιο ο θεματοθέτης Αλ. Κατσουρίδης για την ένστασή του.
Δεν ισχυρίστηκα ποτέ ότι ότι σε κάθε τετράδα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα πολλαπλάσιο του 5, Προφανώς σε μια τετράδα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε 2 ή 4 πολλαπλάσια του 5.
Ο κ. Κατσουρίδης όμως ζητώντας μου να "εξηγήσω λίγο παραπάνω" το προφανώς ανεξήγητο, το κάνει με ειρωνική διάθεση και λυπάμαι για αυτό, όπως και για το λάθος μου το οποίο δεν ήταν "τυπογραφικό": εντελώς απρόσεκτα θεώρησα ότι στο σχήμα έχουμε τρεις αριθμούς.
Να ζητήσω πάλι συγνώμη για την τόση αναστάτωση.
Σας υπόσχομαι ότι δεν θα το ξανακάνω!

Al.Koutsouridis · #7

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 30, 2021 11:44 am
Κύριε Λάμπρου και βέβαια έχει δίκιο ο θεματοθέτης Αλ. Κατσουρίδης για την ένστασή του.
Δεν ισχυρίστηκα ποτέ ότι ότι σε κάθε τετράδα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα πολλαπλάσιο του 5, Προφανώς σε μια τετράδα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε 2 ή 4 πολλαπλάσια του 5.
Ο κ. Κατσουρίδης όμως ζητώντας μου να "εξηγήσω λίγο παραπάνω" το προφανώς ανεξήγητο, το κάνει με ειρωνική διάθεση και λυπάμαι για αυτό, όπως και για το λάθος μου το οποίο δεν ήταν "τυπογραφικό": εντελώς απρόσεκτα θεώρησα ότι στο σχήμα έχουμε τρεις αριθμούς.
Να ζητήσω πάλι συγνώμη για την τόση αναστάτωση.
Σας υπόσχομαι ότι δεν θα το ξανακάνω!

Δεν ξέρω πως ακριβώς συμπεράνατε ότι ήταν ειρωνική η διάθεση; Εντελώς το αντίθετο, ήταν ερώτηση για να αποσαφηνιστεί ο τρόπος σκέψης και μόνο αυτό. Προφανές δεν είναι τίποτα, ο φάκελος είναι πρωτίστως για τους μαθητές και οποιαδήποτε επεξήγηση τρόπου σκέψεις είναι πιο εποικοδομητική από την "στεγνή λύση", ας είναι και σωστή.

Ο λόγος εδώ είναι γραπτός δεν ξέρουμε τι σκέφτεται ο κάθε λύτης, ή τι έχει κάνει στο πρόχειρο του και ποια ήταν η πορεία του. Εσείς μπορείτε να είχατε μια ιδέα για την λύση η οποία πιθανόν δεν εκφράστηκε καλά σε γραπτό λόγο, συμβαίνει συνέχεια σε μένα για παράδειγμα. Η διευκρίνιση ζητήθηκε για να δούμε αυτές τις σκέψεις. Εσείς το ονομάσατε το "προφανώς ανεξήγητο", αλλά αυτό δεν μπορώ να το γνωρίζω εγώ ή τα άλλα μέλη εκ τον προτέρων.

#8

abgd, ευχαριστούμε για τις διευκρινίσεις και δεν υπάρχει πρόβλημα. Όλοι κάνουμε λάθη, πρώτος και καλύτερος εγώ ο ίδιος.

Πιστεύω ότι ο θεματοθέτης δεν είχε ειρωνική διάθεση στο σχόλιό του. Αν πάραυτα έτσι φάνηκε, νομίζω ότι θα αποκαταστήσει. Το λέω αυτό με πεποίθηση γιατί γνωρίζοντας την πορεία και παρουσία του στο φόρουμ, έχω κάθε λόγο να εμπιστεύομαι το ήθος και τα Μαθηματικά του.

Σε ένα σημείο όμως, με μπερδεύεις. Γράφεις στην ανταπάντησή σου

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 30, 2021 11:44 am
Δεν ισχυρίστηκα ποτέ ότι ότι σε κάθε τετράδα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα πολλαπλάσιο του 5

Πλην όμως στο αρχικό σου ποστ γράφεις

abgd έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 29, 2021 9:43 pm
Σε κάθε "τριάδα" θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα πολλαπλάσιο του 5.

Με άλλα λόγια, υποθέτεις ότι σε κάθε τριάδα (ή τετράδα, αν πρόκειται για σφάλμα εκ παραδρομής) πρέπει να υπάρχουν πολλαπλάσια του

. Δεν τεκμηριώθηκε ο ισχυρισμός, αλλά σε αυτό βασίστηκε η λύση σου που λέει ότι έχουμε

τετράδες (όπως άλλωστε τις σχεδίασες) αλλά μόνο

πεντάρια.

Edit: Ο θεματοθέτης απάντησε όσο έγραφα. Αφήνω το δικό μου ποστ για τον κόπο.

#9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 26, 2021 11:13 am
Μπορούμε άραγε να τοποθετήσουμε στα κελιά μιας σκακιέρας τους αριθμούς από το μέχρι το έτσι, ώστε το άθροισμα των αριθμών σε οποιοδήποτε σχήμα της μορφής (βλ. σχήμα) να διαιρείται με το ;

Aπάντηση: Δεν μπορούμε.

Από την υπόθεση έχουμε (βλέπε σχήμα) A+B+C+D =

πολλαπλάσιο του

και

πολλαπλάσιο του

. Αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε A-E=

πολλαπλάσιο του

, δηλαδή τα

και

αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο μόντουλο

. Αυτό είναι το κλειδί.

Κάνοντας την ίδια δουλειά λίγο δεξιότερα ή παρακάτω ή αριστερότερα χρησιμοποιώντας το σχήμα Τ που δίνει η υπόθεση πότε οριζόντια προσανατολισμένο και πότε κάθετα, βρίσκουμε σταδιακά ότι όλα τα κόκκινα τετράγωνα έχουν το ίδιο υπόλοιπο μόντουλο

.

Αυτά είναι

τον αριθμό. Μα στους αριθμούς

έως

δεν υπάρχουν

αριθμοί με το ίδιο μόντουλο. Π.χ. οι $1,\,6, \,11, \, ... \, , 61$ είναι

τον αριθμό. Όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις. Άτοπο και τελειώσαμε.

abgd · #10

Προεκτείνοντας τις σκέψεις του κ. Λάμπρου και ελπίζοντας να είμαι πιο προσεκτικός και σχολαστικός θα αποδείξω το παρακάτω:

Έστω $\mu, \nu$ δύο θετικοί ακέραιοι με $\mu \geq3, \ \ \nu >3$ ή $\mu>3, \ \ \nu \geq3$ .
Σε μια ορθογώνια διάταξη $\mu x \nu$ της μορφής

: Sk1.png (2.78 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

όπου τοποθετούμε, σε κάθε κελί έναν θετικό ακέραιο.
Θεωρούμε το σχήμα

: sk2.png (608 Ψηφιολέξεις) Προβλήθηκε 745 φορές

καθώς και τις περιστροφές του στην παραπάνω διάταξη.
Αν το άθροισμα των αριθμών που περιέχουν τα 4 κελιά του σχήματος είναι πολλαπλάσιο του 5, τότε κάθε αριθμός της ορθογώνιας διάταξης θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 5.

Απόδειξη

Κάθε θετικός ακέραιος έχει τη μορφή $\displaystyle {5\kappa+\upsilon, \ \ \kappa \in \mathtype{N}, \ \ \upsilon \in \{0, 1, 2, 3, 4 \}}$

Εφόσον ισχύει $\displaystyle{\sum_{i=1}^{4}{\left(5\kappa_i}+\upsilon_i\right)}$ είναι πολλαπλάσιο του 5 αν και μόνο αν $\displaystyle{\sum_{i=1}^{4}{\upsilon_i}$ είναι πολλαπλάσιο του 5, $\displaystyle {\upsilon_i \in \{0, 1, 2, 3, 4 \}}$

μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς $\displaystyle {5\kappa_i+\upsilon_i}$ , στην ορθογώνια διάταξη

τοποθετώντας αρχικά τα $\displaystyle {\upsilon_i }$ , έτσι ώστε να ισχύει η συνθήκη του προβλήματος

και μετά επιλέγουμε τα $\displaystyle {\kappa_i}$

Από την ορθογώνια διάταξη επιλέγουμε ένα τμήμα της $\displaystyle{3x4}$ όπου τοποθετούμε τους αριθμούς $\displaystyle{x,y,z,\omega,k,\lambda,m,n}$ όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

: sk3.png (3 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Οι αριθμοί αυτοί ανήκουν στο σύνολο $\displaystyle \bf{ \{0,1,2,3,4\}}$ και παρατηρούμε ότι η διαφορά δύο εξ αυτών είναι πολλαπλάσιο του 5 αν και μόνο αν οι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους.

Ισχύουν οι παρακάτω ισότητες:

$\displaystyle{x+y+z+k=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ y+z+\omega+\lambda=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \ \ \bf{(1)}}$

$\displaystyle{x+y+z+m=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ y+z+\omega+n=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \ \ \bf{(2)}}$

$\displaystyle{k+y+m+x=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ \lambda+z+n+y=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \ \ \bf{(3)}}$

$\displaystyle{k+y+m+z=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ \lambda+z+n+\omega=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \ \ \bf{(4)}}$

Από αυτές τις ισότητες με αφαίρεση έχουμε:

$\displaystyle {\bf{(1)-(2)}\Rightarrow k=m, \ \ \lambda=n}$
$\displaystyle {\bf{(3)-(4)}\Rightarrow x=z, \ \ y=\omega}$
$\displaystyle {\bf{(1)-(3)}\Rightarrow z=m, \ \ \omega=n}$

Έτσι θα είναι: $\displaystyle {x=k=z=m \ \ (=a), \ \ y=\lambda=\omega=n \ \ (=b)}$

Η διάταξη δηλαδή θα έχει τη μορφή:

: sk4.png (3.11 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Με τη χρήση της συνθήκης του προβλήματος έχουμε: $\displaystyle{3a+b=\pi o\lambda\lambda\cdot5, \ \ \ \kappa\alpha\iota \ \ 3b+a=\pi o\lambda\lambda\cdot5}$

Αφαιρώντας κατά μέλη $\displaystyle{2(a-b)=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \Rightarrow a-b=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \Rightarrow a=b}$

και από την $\displaystyle{3a+b=\pi o\lambda\lambda\cdot5 \Rightarrow 4a=\pi o\lambda\lambda\cdot5\Rightarrow a=0}$

Τελικά η διάταξη έχει τη μορφή:

: sk5.png (3.18 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

και για να ικανοποιείται η συνθήκη θα πρέπει να συμπληρώσουμε τα υπόλοιπα κελιά της μόνο με μηδενικά.

Έτσι δείξαμε ότι η διάταξη θα πρέπει να περιλαμβάνει μόνο πολλαπλάσια του 5.

Σκακιέρα και αριθμοί

Σκακιέρα και αριθμοί

Re: Σκακιέρα και αριθμοί

Re: Σκακιέρα και αριθμοί

Re: Σκακιέρα και αριθμοί

Re: Σκακιέρα και αριθμοί

Re: Σκακιέρα και αριθμοί

Re: Σκακιέρα και αριθμοί

Re: Σκακιέρα και αριθμοί

Re: Σκακιέρα και αριθμοί

Re: Σκακιέρα και αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση