Τριψήφια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Τριψήφια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος
Ο πρώτος όρος (πεπερασμένου αριθμού όρων) γεωμετρικής προόδου, που αποτελείται από τριψήφιους φυσικούς αριθμούς, είναι ίσος με . Εξάλλου, η πρόοδος έχει τουλάχιστον τρεις όρους. Ποιός είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να αποτελεί όρο μιας τέτοιας προόδου;
Για Β' & Γ' Λυκείου. Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσία, 2021.
Για Β' & Γ' Λυκείου. Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσία, 2021.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τριψήφια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος
Απάντηση: μέσω της (ο λόγος είναι ).Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Σεπ 11, 2021 11:57 amΟ πρώτος όρος (πεπερασμένου αριθμού όρων) γεωμετρικής προόδου, που αποτελείται από τριψήφιους φυσικούς αριθμούς, είναι ίσος με . Εξάλλου, η πρόοδος έχει τουλάχιστον τρεις όρους. Ποιός είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να αποτελεί όρο μιας τέτοιας προόδου;
Για την λύση έχουμε μάλλον ανιαρή περιπτωσιολογία. Θα ήταν πιο καλή άσκηση αν ρώταγε ποια είναι η γεωμετρική πρόοδος με τους περισσότερους όρους. Η απάντηση είναι η ίδια αλλά γλιτώνουμε την περιπτωσιολογία.
O λόγος της προόδου είναι ρητός αριθμός ως το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων της γεωμετρικής (εκ φυσικών αριθμών) προόδου. Έστω ότι ο λόγος αυτός είναι , όπου πρώτοι προς αλλήλους με . Τότε ο δεύτερος όρος είναι , άρα . Είναι λοιπόν για κάποιον από έως .
- Για ο λόγος είναι (φυσικός). Μία πιθανή γεωμετρική πρόοδος είναι (παίρνω ) η . Για δεν υπάρχει πρόοδος με τρεις τριψήφιους όρους (ήδη ο τρίτος ξεπερνά το ). Το κρατάμε και ελέγχουμε τις άλλες περιπτώσεις.
- Για . Τότε η περίπτωση δίνει την . Η δίνει και εδώ σταματάει. Για δεν υπάρχει πρόοδος με τρεις τριψήφιους όρους (ήδη ο τρίτος ξεπερνά το ).
- Για . Για παίρνουμε . Εδώ σταματάει γιατί ο επόμενος όρος δεν είναι ακέραιος. Για παίρνουμε . Εδώ σταματάει. Για δίνει . Για δίνει (που είναι κοντά στην απάντηση, γι' αυτό και δεν μπορούμε να αποφύγουμε την περιπτωσιολογία). Τα μεγαλύτερα αποκλείονται γιατί δεν δίνουν τρεις όρους.
- Για . Για παίρνουμε και μετά είναι κλάσμα. Για παίρνουμε . Για παίρνουμε . Όμοια οι περιπτώσεις (δεν τις γράφω για οικονομία αλλά μπορεί να ελέγξει κανείς). Τα πιο μεγάλα δίνουν μόνο δύο όρους.
- Για ή ή ή δεν χρειάζεται να τα δούμε γιατί ο τρίτος όρος έχει στον παρανομαστή όρο τουλάχιστον , και άρα δεν είναι ακέραιος.
Ουφ.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τριψήφια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος
Παρόμοιο αλλά νομίζω κάπως πιο σύντομο.
Αν ο (στη λύση του Μιχάλη) είναι δύναμη του , τότε και ο αριθμός μας είναι δύναμη του άρα το μέγιστο θα ήταν .
Έστω λοιπόν περιττός πρώτος ο οποίος διαιρεί τον . Τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του .
Αν , τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του και για να είναι μεγαλύτερος του πρέπει να είναι ίσος με . Αυτό είναι άτοπο διότι αλλά .
Αν , τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του και ο μεγαλύτερος τέτοιος τριψήφιος είναι ο .
Αν , τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του και ο μεγαλύτερος τέτοιος τριψήφιος είναι ο .
Αν τότε δεν υπάρχει τέτοιος τριψήφιος.
Αν ο (στη λύση του Μιχάλη) είναι δύναμη του , τότε και ο αριθμός μας είναι δύναμη του άρα το μέγιστο θα ήταν .
Έστω λοιπόν περιττός πρώτος ο οποίος διαιρεί τον . Τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του .
Αν , τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του και για να είναι μεγαλύτερος του πρέπει να είναι ίσος με . Αυτό είναι άτοπο διότι αλλά .
Αν , τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του και ο μεγαλύτερος τέτοιος τριψήφιος είναι ο .
Αν , τότε ο τελικός αριθμός είναι πολλαπλάσιος του και ο μεγαλύτερος τέτοιος τριψήφιος είναι ο .
Αν τότε δεν υπάρχει τέτοιος τριψήφιος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες