Μεγιστοποίηση εμβαδού 33

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση εμβαδού 33.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

Ευθεία με κλίση : $\lambda=\dfrac{1}{2}$ , τέμνει τον κύκλο : x^2+(y-2)^2=4

στα σημεία S,T

. Αν

είναι

οι προβολές των S,T

στον άξονα x'x

, υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου SS'T'T

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 29, 2021 7:58 am
Μεγιστοποίηση εμβαδού 33.pngΕυθεία με κλίση : $\lambda=\dfrac{1}{2}$ , τέμνει τον κύκλο : στα σημεία . Αν είναι

οι προβολές των στον άξονα , υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Ας είναι $T\left( {{x_1},{y_1}} \right)\,\,,\,\,S\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ και $D\left( {k,0} \right)$ το σημείο τομής της ευθείας που δόθηκε με τον κατακόρυφο άξονα.

$\left( {TT'SS'} \right) = E = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\,\,\left( 1 \right)$ . Από το σύστημα: $\left\{ \begin{gathered} x = 2(y - k) \hfill \\ {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 5{y^2} - 4\left( {2k + 1} \right)y + 4{k^2} = 0$ .

: μεγιστοποίηση εμβαδού 33_Ανάλυση.png (15.38 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές

Από τους τύπους του Vieta

και δεδομένου ότι $\boxed{\left| {{y_1} - {y_2}} \right| = \frac{{\sqrt D }}{a}}$ προκύπτει:

$E = E\left( k \right) = \dfrac{{2h\sqrt D }}{a} = \dfrac{{16\left( {2k + 1} \right)\sqrt {1 + 4k - {k^2}} }}{{25}}$ , όπου $\left\{ \begin{gathered} h = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \frac{{2\left( {2k + 1} \right)}}{5} \hfill \\ D = {b^2} - 4ac = 16\left( {4k + 1 - {k^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μέγιστο έχω για $\boxed{k = \frac{{11 + \sqrt {185} }}{8}}$ και είναι : $\boxed{{E_{\max }} = \frac{1}{5}\sqrt {74\sqrt {185} + 1006} }$ .

Μεγιστοποίηση εμβαδού 33

Μεγιστοποίηση εμβαδού 33

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού 33

Μέλη σε σύνδεση