Μέγιστη γωνία

KARKAR · #1

: Μέγιστη γωνία.png (11.98 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές

Τα σημεία A , B

είναι σταθερά , ενώ το μήκους

, τμήμα

ολισθαίνει στον άξονα x'x

.

Αν οι AC , BD

τέμνονται στο σημείο

, υπολογίστε την μέγιστη τιμή της γωνίας $\widehat{ASB}$ .

#2

: Μέγιστη γωνία_KARKAR.png (24.13 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στην

.

Αβίαστα προκύπτουν : $\vartriangle TAB \to \left( {4,5,3} \right)$ και το τετράπλευρο , TCDB

είναι παραλληλόγραμμο .

Άρα , $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}}$ . Το

προκύπτει από το σημείο επαφής του κύκλου που διέρχεται από τα σταθερά σημεία A,T

κι εφάπτεται του οριζόντιου άξονα ,

Εν γένει έχουμε δύο σημεία επαφής αλλά η μεγαλύτερη γωνία προκύπτει όταν το

ανήκει στο θετικό ημιάξονα .

«Ο αυτόματος πιλότος « δίδει ${\theta _{\max }} = 30^\circ$

( $O{C^2} = 2 \cdot 6 = 12 \Rightarrow OC = 2\sqrt 3 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R = AT = 4$ )

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 19, 2021 8:10 am
Μέγιστη γωνία.pngΤα σημεία είναι σταθερά , ενώ το μήκους , τμήμα ολισθαίνει στον άξονα .

Αν οι τέμνονται στο σημείο , υπολογίστε την μέγιστη τιμή της γωνίας $\widehat{ASB}$ .

Με τις συντεταγμένες των C, D

που φαίνονται στο σχήμα, είναι $\displaystyle {\lambda _{SA}} = - \frac{2}{x},{\lambda _{SB}} = - \frac{6}{x}$

: Μέγιστη γωνία.KAR.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

$\displaystyle \tan \theta = \left| {\frac{{{\lambda _{SA}} - {\lambda _{SB}}}}{{1 + {\lambda _{SA}} \cdot {\lambda _{SB}}}}} \right| = \frac{{4x}}{{{x^2} + 12}}, x>0,$ που εύκολα διαπιστώνουμε ότι έχει

μέγιστη τιμή $\displaystyle {(\tan \theta )_{\max }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3},$ όταν $\displaystyle x = 2\sqrt 3 .$ Άρα $\boxed{{\theta _{\max }} = 30^\circ }$

Η μέγιστη τιμή της $\tan \theta$ βρίσκεται με παραγώγους ή με τον κλασικό τρόπο, $\displaystyle \frac{{4x}}{{{x^2} + 12}} = y \ne 0$ και

$\displaystyle y{x^2} - 4x + 12y = 0,$ απ' όπου $\displaystyle \Delta = 16 - 4{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow \tan \theta = y \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

#4

Καλησπέρα σε όλους. Το τελείωμα της λύσης του Γιώργου με έναν ακόμα κλασικό τρόπο.

Η παράσταση $\displaystyle \frac{{4x}}{{x^2 + 12}}$ με x>0

έχει μέγιστο όταν η παράσταση $\displaystyle \frac{{x^2 + 12}}{{4x}} = \frac{x}{4} + \frac{3}{x}$ έχει ελάχιστο.

Επειδή το γινόμενο των θετικών παραστάσεων $\displaystyle \frac{x}{4},\frac{3}{x}$ είναι σταθερό, το άθροισμά τους θα έχει ελάχιστο όταν γίνουν ίσες (αν μπορεί να γίνουν ίσες).

Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle x = \sqrt {12}$ κ.ο.κ.

#5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 19, 2021 10:58 pm
Καλησπέρα σε όλους. Το τελείωμα της λύσης του Γιώργου με έναν ακόμα κλασικό τρόπο.

Η παράσταση $\displaystyle \frac{{4x}}{{x^2 + 12}}$ με έχει μέγιστο όταν η παράσταση $\displaystyle \frac{{x^2 + 12}}{{4x}} = \frac{x}{4} + \frac{3}{x}$ έχει ελάχιστο.

Επειδή το γινόμενο των θετικών παραστάσεων $\displaystyle \frac{x}{4},\frac{3}{x}$ είναι σταθερό, το άθροισμά τους θα έχει ελάχιστο όταν γίνουν ίσες (αν μπορεί να γίνουν ίσες).

Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle x = \sqrt {12}$ κ.ο.κ.

Μου άρεσε η αντιμετώπισή σου Γιώργο

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 19, 2021 8:10 am
Μέγιστη γωνία.pngΤα σημεία είναι σταθερά , ενώ το μήκους , τμήμα ολισθαίνει στον άξονα .

Αν οι τέμνονται στο σημείο , υπολογίστε την μέγιστη τιμή της γωνίας $\widehat{ASB}$ .

Είναι

,άρα,

Αν

,τότε στο τρίγωνο EAC

έχουμε

$tan \eta +tana+tan \theta =tan \eta. tana. tan \theta \Rightarrow \dfrac{x}{6}- \dfrac{x}{2}+tan \theta=\dfrac{x}{6}. \dfrac{x}{2}.tan \theta \Rightarrow tan \theta = \dfrac{4x}{x^2+12}$

$tan \theta = \dfrac{4x}{x^2+12}= \dfrac{4}{ \dfrac{12}{x} +x}$ .

$\dfrac{4}{ \dfrac{12}{x} +x} \leq \dfrac{4}{2 \sqrt{ \dfrac{12}{x}.x } }= \dfrac{ \sqrt{3} }{3}$

Έτσι $tan \theta _{max}=\dfrac{ \sqrt{3} }{3}$ όταν $\dfrac{12}{x}=x \Rightarrow x=2 \sqrt{3}$

Όταν x<0

,εργαζόμενοι όμοια στο τρίγωνο CEA

παίρνουμε $tan \theta = \dfrac{8x}{12-x^2}$ με

$x \in (- \propto ,-2 \sqrt{3} ) \cup (-2 \sqrt{3} ,0)$ που εύκολα διαπιστώνουμε ότι δεν έχει μέγιστη τιμή

: Μέγιστο γωνίας.png (29.86 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 19, 2021 8:10 am
Μέγιστη γωνία.pngΤα σημεία είναι σταθερά , ενώ το μήκους , τμήμα ολισθαίνει στον άξονα .

Αν οι τέμνονται στο σημείο , υπολογίστε την μέγιστη τιμή της γωνίας $\widehat{ASB}$ .

Είναι

$B'(3,0),AC//ND,AN//CD,C(c,0),N(3,2), \hat{NDB}=\theta ,D(c+3,0), tan(\omega +\theta )=\dfrac{tan\omega +tan\theta }{1-tan\omega tan\theta },(1), tan\omega =\frac{2}{c},(2),tan(\omega +\theta )=\dfrac{6}{c},(3),y=tan\theta (1),(2),(3)\Rightarrow yc^{2}-4c+12y=0,\Delta \geq 0\Rightarrow y\leq \dfrac{\sqrt{3}}{3}, (tan\theta )_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\theta =30^{0},c=2\sqrt{3}$

Christos.N · #8

Επειδή αρέσουν στον Γιώργο τα εναλλακτικά

$\frac{4x}{x^2+12}=\frac{\sqrt{3}}{3} \frac{2u}{u^2+1},~u=\frac{x}{2\sqrt{3}}$

Γνωστό όμως ότι $\frac{2u}{u^2+1}\le1$ και $\frac{2u}{u^2+1}=1\Leftrightarrow u=1$ άρα $x=2\sqrt{3}$

Μέγιστη γωνία

Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Μέλη σε σύνδεση