Πολυμεταβλητό

KARKAR · #1

: Πολυμεταβλητό.png (15.04 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Τμήμα

κινείται , έχοντας τα άκρα του A , B

επί των ημιαξόνων Ox , Oy

αντίστοιχα και έτσι ώστε :

$OA = \dfrac{4OB}{3}$ . Ονομάζουμε

το πρώτο σημείο στο οποίο η κάθετη της

στο

, τέμνει τον (K)

.

Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου ABC

, ως συνάρτηση μιας μεταβλητής και να την μελετήσετε .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 12, 2021 7:03 pm
Πολυμεταβλητό.pngΤμήμα κινείται , έχοντας τα άκρα του επί των ημιαξόνων αντίστοιχα και έτσι ώστε :

$OA = \dfrac{4OB}{3}$ . Ονομάζουμε το πρώτο σημείο στο οποίο η κάθετη της στο , τέμνει τον .

Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου , ως συνάρτηση μιας μεταβλητής και να την μελετήσετε .

Δεν ξέρω τι σόι μαζοχισμό κουβαλάω μέσα στη ζέστη $(37^\circ C)$

Έστω

η προβολή του

στον

Θέτω

οπότε

και

Άρα, $\boxed{(ABC) = \frac{{25}}{2}tx}$

: πολυμεταβλητό.png (18.56 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές

Επειδή το

είναι σημείο του κύκλου, θα είναι $\displaystyle {(4t + 3x - 8)^2} + {(4x - 4)^2} = 9,$ απ' όπου παίρνω

$\displaystyle x = \frac{{40 - 12t - \sqrt { - 256{t^2} + 640t - 175} }}{{25}}$ και το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από τη συνάρτηση

$\boxed{f(t) = \frac{t}{2}\left( {40 - 12t - \sqrt { - 256{t^2} + 640t - 175} } \right)}$ με πεδίο ορισμού $\boxed{{D_f} = \left[ {\frac{5}{{16}},\frac{{35}}{{16}}} \right]}$

Προφανώς, δεν είναι και η ευκολότερη συνάρτηση για μελέτη. Θα γράψω απλώς τα ακρότατα:

$\displaystyle \bullet$ Ολικό ελάχιστο $\dfrac{175}{32}$ στα σημεία $\displaystyle {t_1} = 1 - \frac{{\sqrt {29} }}{8}$ και $\displaystyle {t_3} = 1 + \frac{{\sqrt {29} }}{8}$

$\displaystyle \bullet$ Ολικό μέγιστο $\dfrac{1925}{128}$ στο σημείο $\displaystyle {t_4} = \frac{{35}}{{16}}$

$\displaystyle \bullet$ Τοπικό μέγιστο $\dfrac{125}{128}$ στο $\displaystyle {t_0} = \frac{5}{{16}}$ και $\displaystyle \frac{{25}}{{128}}\left( {89 - 24\sqrt 5 } \right)$ στο $\displaystyle {t_2} = \frac{{20 - 3\sqrt 5 }}{{16}}$

Πολυμεταβλητό

Πολυμεταβλητό

Re: Πολυμεταβλητό

Μέλη σε σύνδεση