Κοντά στο ναδίρ

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κοντά στο ναδίρ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιουν 07, 2021 12:35 pm

Κοντά στο  ναδίρ.png
Κοντά στο ναδίρ.png (16.91 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Σημείο S κινείται στην ανατολική "πλαγιά" του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=6 . Η εφαπτομένη

στο S , τέμνει την προέκταση της AB στο σημείο P και την μεσοκάθετη της χορδής AS στο T .

α) Πότε έχουμε : (TOP)=15 ; ... β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του (TOP) ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κοντά στο ναδίρ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιουν 07, 2021 6:10 pm

Ας δούμε πρώτα το α ερώτημα.

Η ευθεία AT είναι πάντα κάθετη στην AB ως συμμετρική της ευθείας ST με άξονα την OT.

Θέτω: BP = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = y και θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  2\left( {OTB} \right) = 2\left( {ATP} \right) - 2\left( {ATO} \right) \hfill \\ 
  2\left( {OTB} \right) = OS \cdot TP \hfill \\ 
  S{P^2} = PB \cdot PA \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \left( {x + 6} \right)y - 3y = 30 \hfill \\ 
  30 = 3\left( {y + SP} \right) \hfill \\ 
  S{P^2} = x \cdot \left( {x + 6} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \left( {x + 6} \right)y - 3y = 30 \hfill \\ 
  10 = y + \sqrt {x\left( {x + 6} \right)}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Κοντά στο Ναδίρ oritzin_a.png
Κοντά στο Ναδίρ oritzin_a.png (15.58 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές
Από το πιο πάνω σύστημα έχω δύο δεκτές λύσεις : \left\{ \begin{gathered} 
  x = 2 \hfill \\ 
  y = 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. ή \left\{ \begin{gathered} 
  x = 2\sqrt {19}  - 7 \hfill \\ 
  y = \sqrt {19}  + 2 \hfill \\  
\end{gathered}  \right..


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Κοντά στο ναδίρ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Δευ Ιουν 07, 2021 9:05 pm

Ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι (TOP)=15 \rightarrow TP=10,
τότε από θεώρημα διχοτόμων και από Πυθαγόρειο, λαμβάνω το ακόλουθο σύστημα

\displaystyle{ 
\left \{ 
\begin{aligned} 
& {y \over 10} = {3 \over 3+x} \cr 
& y^2 + (6+x)^2 = 100 \cr 
\end{aligned} 
\right. 
}

... που επιλύεται κάνοντας δεκτές τις κάτωθι λύσεις

\displaystyle{ 
\left \{ 
\begin{aligned} 
& x=2,\  y=6 \cr 
& x=2\sqrt{19}-7,\  y=2+\sqrt{19} \cr 
\end{aligned} 
\right. 
}
Συνημμένα
rsz_nadir01.png
rsz_nadir01.png (58.64 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κοντά στο ναδίρ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 08, 2021 12:29 am

Το δεύτερο ερώτημα.

Έστω \boxed{\widehat {BOS} = t \in \left( {0,\dfrac{\pi }{2}} \right)} ( Από την υπόθεση). Θα είναι :

S\left( {3\cos t,3\sin t} \right)\,\,,\,\,SP \to x\cos t + y\sin t = 3\,,\,\,P\left( {\dfrac{3}{{cost}},0} \right) . Επίσης , \overrightarrow {AS}  = 3\left( {1 + \cos t,\sin t} \right) και έτσι έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda  = \dfrac{{\sin t}}{{1 + \cos t}} = \tan \dfrac{t}{2}.

Επειδή το Tέχει τετμημένη πάντα ,  - 3 το σημείο T προκύπτει από τη λύση του συστήματος :

\left\{ \begin{gathered} 
  x =  - 3 \hfill \\ 
  x\cos t + y\sin t = 3 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow T\left( { - 3,\dfrac{3}{{\tan \dfrac{t}{2}}}} \right).
Κοντά στο Ναδίρ oritzin_b_kartesios.png
Κοντά στο Ναδίρ oritzin_b_kartesios.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές
Έτσι η συνάρτηση που δίδει το εμβαδόν του \vartriangle OPT είναι : f(t) = \dfrac{9}{{2\cos t\tan \dfrac{t}{2}}}.

Παρουσιάζει ελάχιστο για t = a\cos \left( {\dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} \right) = a\cos \dfrac{1}{\varphi } \Rightarrow \cos t = \dfrac{1}{\varphi }

Δηλαδή : \dfrac{3}{{3 + x}} = \dfrac{1}{\varphi } \Leftrightarrow \boxed{x = 3\left( {\varphi  - 1} \right)} και είναι : \boxed{{{\left( {OTP} \right)}_{\min }} = \dfrac{{9{\varphi ^2}\sqrt \varphi  }}{2} \simeq 14,985858}

Πολύ κοντά στο 15 ( εξ μάλλον και ο τίτλος) .x=BP , όπως στην ανάρτηση του α ερωτήματος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κοντά στο ναδίρ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 08, 2021 11:19 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιουν 07, 2021 12:35 pm
Κοντά στο ναδίρ.pngΣημείο S κινείται στην ανατολική "πλαγιά" του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=6 . Η εφαπτομένη

στο S , τέμνει την προέκταση της AB στο σημείο P και την μεσοκάθετη της χορδής AS στο T .

α) Πότε έχουμε : (TOP)=15 ; ... β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του (TOP) ;
Για το β) ερώτημα.
Ναδίρ.png
Ναδίρ.png (18.21 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
Βρίσκω \displaystyle {(TOP)_{\min }} = \frac{9}{4}\sqrt {22 + 10\sqrt 5 } για \displaystyle x = \frac{3}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right)

Το μεσημεράκι η λύση.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κοντά στο ναδίρ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 08, 2021 12:42 pm

Κοντά στο Ναδίρ oritzin_b_2.png
Κοντά στο Ναδίρ oritzin_b_2.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές
Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το άθροισμα δύο ορθογωνίων τριγώνων , δηλαδή:

E = \dfrac{3}{2}\sqrt {x\left( {x + 6} \right)}  + \dfrac{3}{2}y\,\,\left( 1 \right) . Αλλά από το Θ. διχοτόμων στο \vartriangle TAP έχω:


y = \dfrac{{3\sqrt {x\left( {x + 6} \right)} }}{x} \left( 2 \right) κι έτσι προκύπτει η συνάρτηση του ζητουμένου εμβαδού :

\boxed{f(x) = \frac{{3\left( {x + 3} \right)\sqrt {x\left( {x + 6} \right)} }}{{2x}}} με παράγωγο: \boxed{f'\left( x \right) = \frac{{3\left( {{x^2} + 3x - 9} \right)\sqrt {x + \left( {x + 6} \right)} }}{{2{x^2}\left( {x + 6} \right)}}}

Η f παρουσιάζει ελάχιστο για \boxed{x = \frac{3}{\varphi } = 3\left( {\varphi  - 1} \right)} κ. λ. π.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κοντά στο ναδίρ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 08, 2021 1:46 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιουν 07, 2021 12:35 pm
Κοντά στο ναδίρ.pngΣημείο S κινείται στην ανατολική "πλαγιά" του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=6 . Η εφαπτομένη

στο S , τέμνει την προέκταση της AB στο σημείο P και την μεσοκάθετη της χορδής AS στο T .

β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του (TOP) ;
Έστω BP=x. Είναι, \displaystyle (TOP) = \frac{{AT(x + 3)}}{2} = \frac{{3PT}}{2} \Leftrightarrow AT = \frac{{3PT}}{{x + 3}}
Ναδίρ.png
Ναδίρ.png (18.21 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές
\displaystyle A{T^2} + A{P^2} = P{T^2} \Leftrightarrow \frac{{9P{T^2}}}{{{{(x + 3)}^2}}} + {(x + 6)^2} = P{T^2} \Leftrightarrow PT = (x + 3)\sqrt {\frac{{x + 6}}{x}}, απ' όπου

\displaystyle (TOP) = \frac{3}{2}(x + 3)\sqrt {\frac{{x + 6}}{x}} και με παραγώγους, \boxed{ {(TOP)_{\min }} = \frac{9}{4}\sqrt {22 + 10\sqrt 5 }} για \boxed{ x = \frac{3}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης