Ημικύκλιο και διχοτόμος

#1

: Ημικύκλιο και διχοτόμος.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Το

είναι μεταβλητό σημείο ενός ημικυκλίου διαμέτρου BOC=2R

και

είναι η προβολή του πάνω στη διάμετρο.

Φέρνω τις εφαπτόμενες του ημικυκλίου στα A, C

που τέμνονται στο

Αν οι

τέμνονται στο

και η

τέμνει την

στο

να δείξετε ότι η

είναι διχοτόμος της $B\widehat AG.$

#2

Θεωρώ το τριγωνομετρικό ημικύκλιο . Έτσι , $A\left( {\cos \theta ,\sin \theta } \right)$ με $\theta \in \left( {0,\dfrac{\pi }{2}} \right)$

Άρα $AE \to x\cos \theta + y\sin \theta = 1$ που για x = 1

προκύπτει : $E\left( {1,\dfrac{{1 - \cos \theta }}{{\sin \theta }}} \right)$ .

Αφού $D\left( {\cos \theta ,0} \right)$ η εξίσωση της $DE \to y = \dfrac{1}{{\sin \theta }}\left( {x - \cos \theta } \right)\,\,$ , Από το σύστημα :

$\left\{ \begin{gathered} y = \frac{1}{{\sin \theta }}\left( {x - \cos \theta } \right) \hfill \\ y = \left( {\tan \theta } \right)x \hfill \\ \end{gathered} \right.$ βρίσκω: $\displaystyle F\left( {\dfrac{{{{\cos }^2}\theta }}{{\cos \theta - {{\sin }^2}\theta }},\dfrac{{\cos \theta \cdot \sin \theta }}{{\cos \theta - {{\sin }^2}\theta }}} \right)$ και θέτω

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} k = \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{\cos \theta - {{\sin }^2}\theta }} \hfill \\ m = \frac{{\cos \theta \cdot \sin \theta }}{{\cos \theta - {{\sin }^2}\theta }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και από το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = \dfrac{m}{{k + 1}}\left( {x + 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Ημικύκλιο και διχοτόμος_Kartesios_1.png (14.51 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

έχω το $G\left( {1,\dfrac{{2\sin \theta \cos \theta }}{{2{{\cos }^2}\theta + \cos \theta - 1}}} \right)$ και μετά την εξίσωση της

$AG \to - \sin \theta \left( {2\cos \theta + 1} \right)x + \left( {2{{\cos }^2}\theta + \cos \theta - 1} \right)y + \sin \theta = 0$ .

Η απόσταση της αρχής απ’ αυτή είναι :

${d_1} = \dfrac{{\left| {\sin \theta } \right|}}{{\sqrt {{{\sin }^2}\theta {{\left( {2\cos \theta + 1} \right)}^2} + {{\left( {2{{\cos }^2}\theta + \cos \theta - 1} \right)}^2}} }}$ και δίδει : $\boxed{{d_1} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {1 - \cos \theta } }$

Από την άλλη μεριά , η απόσταση της αρχής από την

είναι ${d_2} = \dfrac{{AC}}{2}$ .

Αλλά $\overrightarrow {CA} = \left( {\cos \theta - 1,\sin \theta } \right)$ και άρα $\boxed{{d_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {1 - \cos \theta } }$

#3

Παρόμοια είναι και η δική μου λύση (με Αναλυτική). Έβαλα την άσκηση στον συγκεκριμένο φάκελο για να καλύψω

όλες τις περιπτώσεις, με την κρυφή ελπίδα να βρεθεί γεωμετρική προσέγγιση. Αφού όμως δεν τα κατάφερε ο Νίκος,

δεν πρέπει να υπάρχει.

#4

Βάζω μια γεωμετρική λύση, αλλά εκτός φακέλου.

Καταρχάς είναι γνωστό (το έχουμε δει και εδώ αρκετές φορές) ότι η

περνά από το μέσον

της

. Επειδή τώρα $EC\parallel AD$ έπεται ότι η δέσμη (ED,EA; EK, EC)

είναι αρμονική. Τέμνοντάς την με την ευθεία

παίρνουμε ότι τα σημεία (B,G;F,Q)

, όπου

είναι το σημείο τομής των AE, BG

. Όμως $AF\perp AQ$ οπότε η μία είναι διχοτόμος και η άλλη εξωτερική διχοτόμος, όπως θέλαμε.

#5

silouan έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 11, 2021 4:33 pm
Βάζω μια γεωμετρική λύση, αλλά εκτός φακέλου.

Καταρχάς είναι γνωστό (το έχουμε δει και εδώ αρκετές φορές) ότι η περνά από το μέσον της . Επειδή τώρα $EC\parallel AD$ έπεται ότι η δέσμη είναι αρμονική. Τέμνοντάς την με την ευθεία παίρνουμε ότι τα σημεία , όπου είναι το σημείο τομής των . Όμως $AF\perp AQ$ οπότε η μία είναι διχοτόμος και η άλλη εξωτερική διχοτόμος, όπως θέλαμε.

Πολύ καλό Σιλουανέ

Ημικύκλιο και διχοτόμος

Ημικύκλιο και διχοτόμος

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμος

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμος

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμος

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση