Ημικύκλιο και διχοτόμος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10559
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ημικύκλιο και διχοτόμος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 02, 2021 4:29 pm

Ημικύκλιο και διχοτόμος.png
Ημικύκλιο και διχοτόμος.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές
Το A είναι μεταβλητό σημείο ενός ημικυκλίου διαμέτρου BOC=2R και D είναι η προβολή του πάνω στη διάμετρο.

Φέρνω τις εφαπτόμενες του ημικυκλίου στα A, C που τέμνονται στο E. Αν οι ED, AO τέμνονται στο F και η BF

τέμνει την EC στο G, να δείξετε ότι η AF είναι διχοτόμος της B\widehat AG.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7976
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 05, 2021 9:14 am

Θεωρώ το τριγωνομετρικό ημικύκλιο . Έτσι ,A\left( {\cos \theta ,\sin \theta } \right) με \theta  \in \left( {0,\dfrac{\pi }{2}} \right)

Άρα AE \to x\cos \theta  + y\sin \theta  = 1 που για x = 1 προκύπτει : E\left( {1,\dfrac{{1 - \cos \theta }}{{\sin \theta }}} \right).

Αφού D\left( {\cos \theta ,0} \right) η εξίσωση της DE \to y = \dfrac{1}{{\sin \theta }}\left( {x - \cos \theta } \right)\,\,, Από το σύστημα :

\left\{ \begin{gathered} 
  y = \frac{1}{{\sin \theta }}\left( {x - \cos \theta } \right) \hfill \\ 
  y = \left( {\tan \theta } \right)x \hfill \\  
\end{gathered}  \right. βρίσκω: \displaystyle F\left( {\dfrac{{{{\cos }^2}\theta }}{{\cos \theta  - {{\sin }^2}\theta }},\dfrac{{\cos \theta  \cdot \sin \theta }}{{\cos \theta  - {{\sin }^2}\theta }}} \right) και θέτω

\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  k = \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{\cos \theta  - {{\sin }^2}\theta }} \hfill \\ 
  m = \frac{{\cos \theta  \cdot \sin \theta }}{{\cos \theta  - {{\sin }^2}\theta }} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και από το σύστημα : \left\{ \begin{gathered} 
  x = 1 \hfill \\ 
  y = \dfrac{m}{{k + 1}}\left( {x + 1} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Ημικύκλιο και διχοτόμος_Kartesios_1.png
Ημικύκλιο και διχοτόμος_Kartesios_1.png (14.51 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές
έχω το G\left( {1,\dfrac{{2\sin \theta \cos \theta }}{{2{{\cos }^2}\theta  + \cos \theta  - 1}}} \right) και μετά την εξίσωση της

AG \to  - \sin \theta \left( {2\cos \theta  + 1} \right)x + \left( {2{{\cos }^2}\theta  + \cos \theta  - 1} \right)y + \sin \theta  = 0.

Η απόσταση της αρχής απ’ αυτή είναι :

{d_1} = \dfrac{{\left| {\sin \theta } \right|}}{{\sqrt {{{\sin }^2}\theta {{\left( {2\cos \theta  + 1} \right)}^2} + {{\left( {2{{\cos }^2}\theta  + \cos \theta  - 1} \right)}^2}} }} και δίδει : \boxed{{d_1} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {1 - \cos \theta } }

Από την άλλη μεριά , η απόσταση της αρχής από την AB είναι {d_2} = \dfrac{{AC}}{2}.

Αλλά \overrightarrow {CA}  = \left( {\cos \theta  - 1,\sin \theta } \right) και άρα \boxed{{d_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {1 - \cos \theta } }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10559
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 09, 2021 11:06 am

Παρόμοια είναι και η δική μου λύση (με Αναλυτική). Έβαλα την άσκηση στον συγκεκριμένο φάκελο για να καλύψω

όλες τις περιπτώσεις, με την κρυφή ελπίδα να βρεθεί γεωμετρική προσέγγιση. Αφού όμως δεν τα κατάφερε ο Νίκος,

δεν πρέπει να υπάρχει.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1312
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Ιουν 11, 2021 4:33 pm

Βάζω μια γεωμετρική λύση, αλλά εκτός φακέλου.

Καταρχάς είναι γνωστό (το έχουμε δει και εδώ αρκετές φορές) ότι η AE περνά από το μέσον K της AD. Επειδή τώρα EC\parallel AD έπεται ότι η δέσμη (ED,EA; EK, EC) είναι αρμονική. Τέμνοντάς την με την ευθεία CK παίρνουμε ότι τα σημεία (B,G;F,Q), όπου Q είναι το σημείο τομής των AE, BG. Όμως AF\perp AQ οπότε η μία είναι διχοτόμος και η άλλη εξωτερική διχοτόμος, όπως θέλαμε.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10559
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 12, 2021 8:43 am

silouan έγραψε:
Παρ Ιουν 11, 2021 4:33 pm
Βάζω μια γεωμετρική λύση, αλλά εκτός φακέλου.

Καταρχάς είναι γνωστό (το έχουμε δει και εδώ αρκετές φορές) ότι η AE περνά από το μέσον K της AD. Επειδή τώρα EC\parallel AD έπεται ότι η δέσμη (ED,EA; EK, EC) είναι αρμονική. Τέμνοντάς την με την ευθεία CK παίρνουμε ότι τα σημεία (B,G;F,Q), όπου Q είναι το σημείο τομής των AE, BG. Όμως AF\perp AQ οπότε η μία είναι διχοτόμος και η άλλη εξωτερική διχοτόμος, όπως θέλαμε.
Πολύ καλό Σιλουανέ :clap2: :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης