Το άριστα

KARKAR · #1

: Το άριστα.png (21.27 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Η κορυφή

ενός τριγώνου είναι η "Δύση" του κύκλου (O,4)

και οι κορυφές A , C

είναι τα άκρα χορδής ,

η οποία διέρχεται από το μέσο

της ακτίνας

. Για ποια θέση του

, προκύπτει : (ABC)=20

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 14, 2021 10:16 am
Το άριστα.pngΗ κορυφή ενός τριγώνου είναι η "Δύση" του κύκλου και οι κορυφές είναι τα άκρα χορδής ,

η οποία διέρχεται από το μέσο της ακτίνας . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

: Το άριστα.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

: το άριστα_ok.png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές

Με επιλογή του συστήματος συντεταγμένων του σχήματος ,

η ευθεία

που διέρχεται από το σταθερό σημείο $\boxed{M\left( {0,0} \right)}$ έχει κλίση:

$\boxed{k = - \sqrt {\frac{{7 + 3\sqrt {11} }}{2}} }$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 14, 2021 10:16 am
Το άριστα.pngΗ κορυφή ενός τριγώνου είναι η "Δύση" του κύκλου και οι κορυφές είναι τα άκρα χορδής ,

η οποία διέρχεται από το μέσο της ακτίνας . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

$\dfrac{(ABC)}{(ADC)}= \dfrac{BM}{MD}=3 \Rightarrow (ADC)=(AOC)= \dfrac{20}{3}$

Αλλά, $2(AOC)= \dfrac{40}{3} =OA.OCsin2B=16sin2B \Rightarrow sin2B= \dfrac{5}{6}$

Έστω τώρα $CE \bot AO$ .Είναι $sin \phi =sin2B= \dfrac{CE}{4} \Rightarrow \dfrac{5}{6}= \dfrac{CE}{4} \Rightarrow CE= \dfrac{10}{3}$

Με Π.Θ στο $\triangle OEC$ έχουμε $OE= \dfrac{2 \sqrt{11} }{3}$ άρα $AE=AE=4+ \dfrac{2 \sqrt{11} }{3}$ και με Π.Θ

στο τρίγωνο $AEC \Rightarrow AC= \dfrac{4}{3} \sqrt{18+3 \sqrt{11} }$

Από $2(AOC)=AC . OT \Rightarrow OT= \dfrac{10}{ \sqrt{18+3 \sqrt{11} } }$

Κατασκευή

Από το

θεωρούμε τις εφαπτόμενες προς τον κύκλο (O,OT)

που τέμνουν τον κύκλο (O,4)

στα

και

Τα τρίγωνα ABC,A’BC’

είναι ίσα(η απόδειξη εύκολη) με εμβαδό

: το άριστα.png (36.63 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 14, 2021 10:16 am
Το άριστα.pngΗ κορυφή ενός τριγώνου είναι η "Δύση" του κύκλου και οι κορυφές είναι τα άκρα χορδής ,

η οποία διέρχεται από το μέσο της ακτίνας . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

: Το άριστα.β.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

$\displaystyle (ABC) = (ABM) + (BMC) = 20 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot 6\left( {\left| {{y_1}} \right| + \left| {{y_2}} \right|} \right) = 20 \Leftrightarrow$ $\boxed{\left| {{y_1}} \right| + \left| {{y_2}} \right| = \frac{{20}}{3}}$ (1)

Έστω $\displaystyle \lambda$ ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας

(εύκολα διαπιστώνουμε ότι η κατακόρυφη ευθεία δεν δίνει εμβαδόν

). Είναι $AC:y = \lambda (x - 2) \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{y + 2\lambda }}{\lambda }}$ και ο κύκλος $\boxed{C:{x^2} + {y^2} = 16}$

Καταλήγουμε λοιπόν στην εξίσωση: $\displaystyle ({\lambda ^2} + 1){y^2} + 4\lambda y - 12{\lambda ^2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{2\lambda }}{{{\lambda ^2} + 1}}\left( { - 1 \pm \sqrt {4{\lambda ^2} + 3} } \right)$

και από την (1)

βρίσκουμε δύο ευθείες $\boxed{ y = \sqrt {\frac{{7 + 3\sqrt {11} }}{2}} (x - 2)}$ ή $\boxed{ y = - \sqrt {\frac{{7 + 3\sqrt {11} }}{2}} (x - 2)}$

Το άριστα

Το άριστα

Re: Το άριστα

Re: Το άριστα

Re: Το άριστα

Re: Το άριστα

Μέλη σε σύνδεση