Η τέταρτη ακτίνα

KARKAR · #1

: Η τέταρτη ακτίνα.png (17.17 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

$\bigstar$ Σε τμήμα AB=12

, θεωρούμε σημείο

, ώστε :

. Γράφουμε τα ημικύκλια του σχήματος

και εν συνεχεία τον κόκκινο τρισεφαπτόμενο κύκλο (K, r)

. Δημιουργήστε συνάρτηση

( του

) , η οποία

να αποδίδει την ακτίνα του κύκλου (K,r)

, βρείτε την μέγιστη τιμή της και το

, για το οποίο : r=1

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 09, 2021 1:09 pm
Η τέταρτη ακτίνα.png $\bigstar$ Σε τμήμα , θεωρούμε σημείο , ώστε : . Γράφουμε τα ημικύκλια του σχήματος

και εν συνεχεία τον κόκκινο τρισεφαπτόμενο κύκλο . Δημιουργήστε συνάρτηση ( του ) , η οποία

να αποδίδει την ακτίνα του κύκλου , βρείτε την μέγιστη τιμή της και το , για το οποίο : .

Στο τρίγωνο KML

είναι : $\left\{ \begin{gathered} KM = x + r \hfill \\ ML = 6 \hfill \\ CB = 12 - 2x \hfill \\ KD = 6 - r \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} KM = x + r \hfill \\ ML = 6 \hfill \\ CL = y = 6 - x \hfill \\ KD = 6 - r \hfill \\ MC = ML - CL = 6 - y = x \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Η τέταρτη ακτίνα_ok.png (21.18 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές

Άρα τελικά : $\left\{ \begin{gathered} KM = x + r \hfill \\ ML = 6 \hfill \\ KL = y + r = 6 - x + r \hfill \\ KD = 6 - r \hfill \\ MD = y \hfill \\ DL = x \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Από το Θ Stewart

στο $\vartriangle KML$ έχω:

$ML \cdot K{D^2} = DL \cdot K{M^2} + MD \cdot K{L^2} - ML \cdot MD \cdot DL$ δηλαδή :

$6{\left( {6 - r} \right)^2} = x{\left( {x + r} \right)^2} + \left( {6 - x} \right){\left( {6 - x + r} \right)^2} - 6x\left( {6 - x} \right)$ και λύνω ως προς

.

$\boxed{f(x) = r = \frac{{6x\left( {6 - x} \right)}}{{{x^2} - 6x + 36}}}$ παρουσιάζει μέγιστο για x = 3

το $f\left( 3 \right) = 2$ ενώ αν r = 1

θα έχω:

$\boxed{x = AM = 3 \pm \frac{{3\sqrt {21} }}{7}}$ καθ’ όσον το

βρίσκεται πιο κοντά στο

ή στο

Παρατήρηση:

Η γεωμετρική κατασκευή του κέντρου

(του κύκλου $\left( {K,r} \right)$ ) μπορεί να γίνει και ως εξής:

Γράφουμε κύκλο διερχόμενο από το σημείο

κι εφαπτόμενο στους κύκλους :

$\left( {D,6 + x} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {L,6 - 2x} \right)$ . Πρόβλημα $\Sigma {\rm K}{\rm K}$ του Απολλώνιου

: Η τέταρτη ακτίνα_ok_apollonius.png (23.01 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

#3

Για την κατασκευή. Έστω AB=2(a+b)

και τα ημικύκλια (M,a)

και

με μέσα

αντίστοιχα.

: Η 4η ακτίνα.png (26.55 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές

Οι

τέμνονται στο

και ο κύκλος (L, LC)

τέμνει τα ημικύκλια (M), (N)

στα

αντίστοιχα. Το

κέντρο

του ζητούμενου κύκλου είναι το σημείο τομής των ME, NF

και η ακτίνα του r=KE=KF.

Στη γενική μορφή $\boxed{r = \frac{{ab(a + b)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}}$

Είμαι σίγουρος ότι έχω ξανακάνει την ίδια κατασκευή στο αλλά δεν μπορώ να βρω πού.

Η τέταρτη ακτίνα

Η τέταρτη ακτίνα

Re: Η τέταρτη ακτίνα

Re: Η τέταρτη ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση