Μέγιστο ύψος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12735
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο ύψος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 08, 2021 11:42 am

Μέγιστο ύψος.png
Μέγιστο ύψος.png (8.62 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές
Τα ομόκεντρα τεταρτοκύκλια του σχήματος έχουν μεταβλητές ακτίνες OA=R και OB=r ,  ( r < R ) ,

οι οποίες όμως έχουν σταθερό άθροισμα : R+r=8 . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα AT και το κάθετο

προς την OB , τμήμα TS . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος TS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4916
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο ύψος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μάιος 08, 2021 1:00 pm

Με το σχήμα του Θανάση.
Μέγιστο ύψος.png
Μέγιστο ύψος.png (8.62 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

Έστω  \displaystyle T\left( {{x_0},{y_0}} \right) με  \displaystyle 0 < {x_0},\;{y_0} < 4,\;\;x_0^2 + y_0^2 = {r^2}

Είναι  \displaystyle TA:\;x{x_0} + y{y_0} = {r^2} \Rightarrow R{x_0} = {r^2} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{{r^2}}}{R} (*)

 \displaystyle T{S^2} = {x_0}\left( {R - {x_0}} \right) = \frac{{{r^2}}}{R}\left( {R - \frac{{{r^2}}}{R}} \right)

 \displaystyle  = \frac{{{r^2}\left( {{R^2} - {r^2}} \right)}}{{{R^2}}} = {r^2} - \frac{{{r^4}}}{{{{\left( {8 - r} \right)}^2}}} = \frac{{64{r^2} - 16{r^3}}}{{{{\left( {8 - r} \right)}^2}}}

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right) = \frac{{64{x^2} - 16{x^3}}}{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}},\;\;x \in \left( {0,4} \right) έχει παράγωγο  \displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{16x\left( {{x^2} - 24x + 64} \right)}}{{{{\left( {8 - x} \right)}^3}}}

Είναι  \displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4\left( {3 - \sqrt 5 } \right) , όπου παρουσιάζει μέγιστο, με τιμή περίπου 5,77, οπότε  \displaystyle T{S_{\max }} \cong \sqrt {5,77} .


(*) Βεβαίως η ίδια σχέση προκύπτει και γεωμετρικά από τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο TOA. Νόμιζα ότι θα προλάβουν οι εκλεκτοί γεωμέτρες μας και είπα να δώσω άλλη προσέγγιση για να μην επικαλυπτόνται οι λύσεις μας. :D


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10729
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο ύψος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 08, 2021 4:50 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 08, 2021 11:42 am
Μέγιστο ύψος.pngΤα ομόκεντρα τεταρτοκύκλια του σχήματος έχουν μεταβλητές ακτίνες OA=R και OB=r ,  ( r < R ) ,

οι οποίες όμως έχουν σταθερό άθροισμα : R+r=8 . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα AT και το κάθετο

προς την OB , τμήμα TS . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος TS .
Όπως προτείνει στην υποσημείωση ο Γιώργος Ρίζος.
Μέγιστο ύψος.K4.png
Μέγιστο ύψος.K4.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{r^2} = OS \cdot R\\ 
\\ 
T{S^2} = {r^2} - O{S^2} 
\end{array} \right. \Rightarrow T{S^2} = {r^2} - \frac{{{r^4}}}{{{R^2}}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{R + r = 8} \boxed{T{S^2} = \frac{{16{r^2}(4 - r)}}{{{{(8 - r)}^2}}}}

Τα υπόλοιπα όπως ο Γιώργος. Μέγιστη τιμή \boxed{T{S_{\max }} = 4\sqrt {10\sqrt 5  - 22}} για \boxed{r = 4(3 - \sqrt 5 )}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης