Ώρα εφαπτομένης 105

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 105

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 07, 2021 8:36 am

Ώρα εφαπτομένης 105.png
Ώρα εφαπτομένης 105.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Με τα σημεία S και T διαιρέσαμε την διάμετρο BC ενός ημικυκλίου , σε τμήματα : BS=2 ,

 ST= 3  , TC=4 . Σημείο A κινείται πάνω στο τόξο . Βρείτε την μέγιστη τιμή της \tan\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 105

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 07, 2021 9:55 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 07, 2021 8:36 am
Ώρα εφαπτομένης 105.pngΜε τα σημεία S και T διαιρέσαμε την διάμετρο BC ενός ημικυκλίου , σε τμήματα : BS=2 ,

 ST= 3  , TC=4 . Σημείο A κινείται πάνω στο τόξο . Βρείτε την μέγιστη τιμή της \tan\theta .
Θέτω AT=x. Είναι AB^2+AC^2=81 και με θεώρημα \displaystyle {\rm{Stewart}} διαδοχικά στα τρίγωνα ABT, ASC έχω:
Ώρα εφαπτομένης.105.png
Ώρα εφαπτομένης.105.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
3A{B^2} + 2{x^2} = 5A{S^2} + 30\\ 
\\ 
4A{S^2} + 3A{C^2} = 7{x^2} + 84 
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3(A{B^2} + A{C^2}) = A{S^2} + 5{x^2} + 114 \Leftrightarrow A{S^2} = 129 - 5{x^2}

Νόμος συνημιτόνου στο AST, \displaystyle \cos \theta  = \frac{{A{S^2} + {x^2} - 9}}{{2xAS}} = \frac{{60 - 2{x^2}}}{{x\sqrt {129 - 5{x^2}} }}, απ' όπου

\boxed{\tan \theta  = \frac{{3\sqrt {41{x^2} - {x^4} - 400} }}{{60 - 2{x^2}}}} και με παραγώγους βρίσκω \boxed{{(\tan \theta )_{\max }} = \frac{{27\sqrt {70} }}{{280}}} για \boxed{x = \sqrt {\frac{{430}}{{19}}} }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 105

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 07, 2021 11:03 am

Το ίδιο αποτέλεσμα βρίσκω με άλλο τρόπο :
Ώρα εφαπτομένης 105.png
Ώρα εφαπτομένης 105.png (25.25 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές
Το σημείο B είναι αρμονικό συζυγές του T ως προς τα G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S με \boxed{BG = \frac{{18}}{5}} και

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\ 
  \widehat {GAT} = \widehat {BAC} = 90^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Ίσως κάποια στιγμή γράψω σχετικά .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 105

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μάιος 07, 2021 12:35 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 07, 2021 8:36 am
Ώρα εφαπτομένης 105.pngΜε τα σημεία S και T διαιρέσαμε την διάμετρο BC ενός ημικυκλίου , σε τμήματα : BS=2 ,

 ST= 3  , TC=4 . Σημείο A κινείται πάνω στο τόξο . Βρείτε την μέγιστη τιμή της \tan\theta .
Με SD \bot AB,TE \bot AC \Rightarrow SD//AC,TE//AB και  \dfrac{BD}{DA}= \dfrac{2}{7}  , \dfrac{EC}{AE}= \dfrac{4}{5}

tanB= \dfrac{DS}{BD}= \dfrac{DS}{ \dfrac{2}{7}AD }= \dfrac{7}{2} \dfrac{DS}{AD} \Rightarrow tan \phi = \dfrac{DS}{AD} = \dfrac{2}{7} tanB

 tanC= \dfrac{TE}{EC}= \dfrac{TE}{ \dfrac{4}{5}AE }= \dfrac{5}{4} \dfrac{TE}{AE} \Rightarrow ta n \omega  = \dfrac{TE}{AE} = \dfrac{4}{5} tanC

Έστω  tanB=x ,tanC=y

 \phi + \omega + \theta = \dfrac{ \pi }{2} \Rightarrow tan \theta =cot( \phi + \omega )= \dfrac{1-tan \phi   tan \omega }{tan \phi +tan \omega }= \dfrac{1- \dfrac{4}{5}. \dfrac{2}{7}xy }{ \dfrac{2}{7}x+ \dfrac{4}{5}y  }=  \dfrac{27}{10x+28y}}

Η  tan \theta γίνεται μέγιστη όταν  10x+28y γίνει ελάχιστο

Αλλά  10x.28y=280.1=280 άρα το άθροισμα  10x+28y γίνεται ελάχιστο όταν 10x=28y

οπότε tan \theta = \dfrac{27}{56y} με y= \dfrac{c}{b}

Όμως 10x=28y  \Leftrightarrow   \dfrac{b}{c} = \dfrac{14}{5} \dfrac{c}{b} \Leftrightarrow  \dfrac{c}{b} = \sqrt{ \dfrac{5}{14} }

Εύκολα τώρα  tan \theta _{max}= \dfrac{27 \sqrt{70} }{280} όταν  \dfrac{c}{b}= \sqrt{ \dfrac{5}{14} }
ώρα εφαπτ.105.png
ώρα εφαπτ.105.png (12.64 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 105

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 08, 2021 11:59 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 07, 2021 8:36 am
Ώρα εφαπτομένης 105.pngΜε τα σημεία S και T διαιρέσαμε την διάμετρο BC ενός ημικυκλίου , σε τμήματα : BS=2 ,

 ST= 3  , TC=4 . Σημείο A κινείται πάνω στο τόξο . Βρείτε την μέγιστη τιμή της \tan\theta .
efapt_105_exigisi.png
efapt_105_exigisi.png (35.85 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
Η γωνία \theta γίνεται μέγιστη όταν η γωνία 2\theta ( επίκεντρη) γίνεται μέγιστη .

Γι’ αυτό αρκεί η χορδή JQ//BC \Leftrightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}.

Τα υπόλοιπα απλά .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης