Ώρα εφαπτομένης 104

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 104.png (7.25 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές

Σε ορθογώνιο ABCD

μεταβλητών διαστάσεων a ,b

, θεωρούμε σημεία S , M

των πλευρών AB , BC

,

ώστε : $AS=\dfrac{a}{3}$ και $BM=\dfrac{b}{2}$ . Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ , όταν αυτή μεγιστοποιείται .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 05, 2021 11:39 am
Ώρα εφαπτομένης 104.pngΣε ορθογώνιο μεταβλητών διαστάσεων , θεωρούμε σημεία των πλευρών ,

ώστε : $AS=\dfrac{a}{3}$ και $BM=\dfrac{b}{2}$ . Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ , όταν αυτή μεγιστοποιείται .

$\theta +( \phi + \omega )=90^0 \Rightarrow tan \theta =cot( \phi + \omega )= \dfrac{1-tan \phi .tan \omega }{tan \phi +tan \omega }= \dfrac{1- \dfrac{a}{3b}. \dfrac{b}{2a} }{ \dfrac{a}{3b}+ \dfrac{b}{2a} } = \dfrac{5}{2 . \dfrac{a}{b}+3 \dfrac{b}{a} }$ ,άρα

$tan \theta = \dfrac{5}{2x+ \dfrac{3}{x} }$

όπου $x= \dfrac{a}{b}$ και γίνεται μέγιστη όταν $2x+ \dfrac{3}{x} =min$

Επειδή $2x. \dfrac{3}{x} =6$ το άθροισμα $2x+ \dfrac{3}{x}$ γίνεται ελάχιστο ,όταν $2x= \dfrac{3}{x} \Rightarrow x= \sqrt{ \dfrac{3}{2} }$ και τότε $tan \theta _{max} = \dfrac{5}{6} \sqrt{ \dfrac{3}{2} }$

: ώρα εφαπτ.104.png (9.95 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 05, 2021 11:39 am
Ώρα εφαπτομένης 104.pngΣε ορθογώνιο μεταβλητών διαστάσεων , θεωρούμε σημεία των πλευρών ,

ώστε : $AS=\dfrac{a}{3}$ και $BM=\dfrac{b}{2}$ . Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ , όταν αυτή μεγιστοποιείται .

: Ώρα εφαπτομένης.104.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Με Π. Θ βρίσκω $\displaystyle D{S^2} = \frac{{{a^2}}}{9} + {b^2},D{M^2} = {a^2} + \frac{{{b^2}}}{4},S{M^2} = \frac{{4{a^2}}}{9} + \frac{{{b^2}}}{4}$ και με νόμο συνημιτόνου στο

DSM,

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{2{a^2} + 3{b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 9{b^2}} \cdot \sqrt {4{a^2} + {b^2}} }}$ και $\displaystyle \tan \theta = \sqrt {\frac{{1 - {{\cos }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }}} = \frac{{5ab}}{{2{a^2} + 3{b^2}}} \le \frac{{5ab}}{{2\sqrt 6 ab}}$

Άρα, $\boxed{ {(\tan \theta )_{\max }} = \frac{{5\sqrt 6 }}{{12}}}$ όταν $\boxed{ \frac{b}{a} = \sqrt {\frac{2}{3}}}$

#4

: ;Ώρα εφαπτομένης 104.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές

Έστω

και σταθερό το b = 2m

, Επειδή $\theta = 90^\circ - \left( {{a_1} + {a_2}} \right)$ με $\boxed{k = mx}$ έχω:

$\boxed{\tan \theta = \frac{{5km}}{{2{m^2} + 3{k^2}}} = \frac{{5x}}{{3{x^2} + 2}} = f(x)}$

που παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}}$ και είναι $\boxed{{{\left( {\tan \theta } \right)}_{nax}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{{12}}}$

Ώρα εφαπτομένης 104

Ώρα εφαπτομένης 104

Re: Ώρα εφαπτομένης 104

Re: Ώρα εφαπτομένης 104

Re: Ώρα εφαπτομένης 104

Μέλη σε σύνδεση