Εμβαδολογία

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εμβαδολογία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μάιος 04, 2021 6:30 pm

Εμβαδολογία.png
Εμβαδολογία.png (7.05 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές
Τα μήκη των πλευρών AB , AC , τριγώνου ABC , είναι διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι .

Α) Δείξτε ότι το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου είναι ακέραιο και ότι για μεγάλα n , είναι : h_{a}\simeq\dfrac{a}{2}

Β) Αναζητούμε το (ABC)_{max} , με την επιπλέον απαίτηση και ο a να είναι ακέραιος .

Τώρα βρισκόμαστε μπροστά σε ένα δίλημμα . Διατυπώστε το και αναζητήστε την λύση του .

* Υπάρχει περίπτωση για δύο διαδοχικές τιμές του ακεραίου a να έχουμε το ίδιο ( μέγιστο) εμβαδόν ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7926
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδολογία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 05, 2021 12:23 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Μάιος 04, 2021 6:30 pm
Εμβαδολογία.pngΤα μήκη των πλευρών AB , AC , τριγώνου ABC , είναι διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι .

Α) Δείξτε ότι το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου είναι ακέραιο και ότι για μεγάλα n , είναι : h_{a}\simeq\dfrac{a}{2}

Β) Αναζητούμε το (ABC)_{max} , με την επιπλέον απαίτηση και ο a να είναι ακέραιος .

Τώρα βρισκόμαστε μπροστά σε ένα δίλημμα . Διατυπώστε το και αναζητήστε την λύση του .

* Υπάρχει περίπτωση για δύο διαδοχικές τιμές του ακεραίου a να έχουμε το ίδιο ( μέγιστο) εμβαδόν ;
Εμβαδολογία


α) Αν είναι σταθερές οι τιμές των μηκών : b = n + 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = n\,\,\, με n θετικό ακέραιο ,

τότε το τρίγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν όταν A = 90^\circ και είναι :

\boxed{{{\left( {ABC} \right)}_{\max }} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} που είναι ακέραιος γιατί ένας εκ των n,n + 1 είναι άρτιος.

Για πολύ μεγάλες τιμές του n και πάντα A = 90^\circ το \vartriangle ABC «φαίνεται» ισοσκελές ορθογώνιο οπότε το \boxed{{h_a} \simeq \frac{a}{2}}

Τώρα αν στο «παιγνίδι» και το a είναι ακέραιος θα πρέπει :

{\left( {n + 1} \right)^2} + {n^2} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow 2{n^2} + 2n + \left( {1 - {a^2}} \right) = 0 που απαιτούμε
εμβαδολογία.png
εμβαδολογία.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 43 φορές
\boxed{n = \frac{{\sqrt {2{a^2} - 1}  - 1}}{2}} να είναι ακέραιος

αυτό συμβαίνει π.χ. για τις πυθαγόρειες τριάδες : \left( {a,b,c} \right)

\left( {5,4,3} \right)\,\,,\,\,\left( {29,21,20} \right)\,\,,\,\,\left( {169,120,119} \right)\,\,,\left( {985,697,696} \right)

Τα έδωσε ο αυτόματος «πιλότος» στα 1000 «πόδια» και άνω .

Στην περίπτωση που το τρίγωνο \vartriangle ABC έχει τις AB = n\,\,,\,\,AC = n + 1,\,\,BC = a με

a,n ακεραίους ( με μόνο περιορισμό, a < 2n + 1) δεν υπάρχει νομίζω θέμα μέγιστου εμβαδού.

Θα αναμένω τις απόψεις άλλων .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εμβαδολογία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 05, 2021 6:57 am

Φοβάμαι ότι η εκφώνηση δεν ήταν σαφής . Το ζητούμενο είναι με δεδομένες τις πλευρές : c=n και b=n+1

για ποιο ακέραιο μήκος της a μεγιστοποιείται το εμβαδόν . Προφανώς τώρα γενικά δεν θα είναι : \hat{A}=90^0 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης