Εμβαδολογία

KARKAR · #1

: Εμβαδολογία.png (7.05 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές

Τα μήκη των πλευρών AB , AC

, τριγώνου ABC

, είναι διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι .

Α) Δείξτε ότι το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου είναι ακέραιο και ότι για μεγάλα

, είναι : $h_{a}\simeq\dfrac{a}{2}$

Β) Αναζητούμε το $(ABC)_{max}$ , με την επιπλέον απαίτηση και ο

να είναι ακέραιος .

Τώρα βρισκόμαστε μπροστά σε ένα δίλημμα . Διατυπώστε το και αναζητήστε την λύση του .

* Υπάρχει περίπτωση για δύο διαδοχικές τιμές του ακεραίου

να έχουμε το ίδιο ( μέγιστο) εμβαδόν ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 04, 2021 6:30 pm
Εμβαδολογία.pngΤα μήκη των πλευρών , τριγώνου , είναι διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι .

Α) Δείξτε ότι το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου είναι ακέραιο και ότι για μεγάλα , είναι : $h_{a}\simeq\dfrac{a}{2}$

Β) Αναζητούμε το $(ABC)_{max}$ , με την επιπλέον απαίτηση και ο να είναι ακέραιος .

Τώρα βρισκόμαστε μπροστά σε ένα δίλημμα . Διατυπώστε το και αναζητήστε την λύση του .

* Υπάρχει περίπτωση για δύο διαδοχικές τιμές του ακεραίου να έχουμε το ίδιο ( μέγιστο) εμβαδόν ;

Εμβαδολογία

α) Αν είναι σταθερές οι τιμές των μηκών : $b = n + 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = n\,\,\,$ με

θετικό ακέραιο ,

τότε το τρίγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν όταν $A = 90^\circ$ και είναι :

$\boxed{{{\left( {ABC} \right)}_{\max }} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}$ που είναι ακέραιος γιατί ένας εκ των n,n + 1

είναι άρτιος.

Για πολύ μεγάλες τιμές του

και πάντα $A = 90^\circ$ το $\vartriangle ABC$ «φαίνεται» ισοσκελές ορθογώνιο οπότε το $\boxed{{h_a} \simeq \frac{a}{2}}$

Τώρα αν στο «παιγνίδι» και το

είναι ακέραιος θα πρέπει :

${\left( {n + 1} \right)^2} + {n^2} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow 2{n^2} + 2n + \left( {1 - {a^2}} \right) = 0$ που απαιτούμε

: εμβαδολογία.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

$\boxed{n = \frac{{\sqrt {2{a^2} - 1} - 1}}{2}}$ να είναι ακέραιος

αυτό συμβαίνει π.χ. για τις πυθαγόρειες τριάδες : $\left( {a,b,c} \right)$

$\left( {5,4,3} \right)\,\,,\,\,\left( {29,21,20} \right)\,\,,\,\,\left( {169,120,119} \right)\,\,,\left( {985,697,696} \right)$

Τα έδωσε ο αυτόματος «πιλότος» στα 1000 «πόδια» και άνω .

Στην περίπτωση που το τρίγωνο $\vartriangle ABC$ έχει τις $AB = n\,\,,\,\,AC = n + 1,\,\,BC = a$ με

a,n

ακεραίους ( με μόνο περιορισμό, a < 2n + 1

) δεν υπάρχει νομίζω θέμα μέγιστου εμβαδού.

Θα αναμένω τις απόψεις άλλων .

KARKAR · #3

Φοβάμαι ότι η εκφώνηση δεν ήταν σαφής . Το ζητούμενο είναι με δεδομένες τις πλευρές : c=n

και

για ποιο ακέραιο μήκος της

μεγιστοποιείται το εμβαδόν . Προφανώς τώρα γενικά δεν θα είναι : $\hat{A}=90^0$ .

Εμβαδολογία

Εμβαδολογία

Re: Εμβαδολογία

Re: Εμβαδολογία

Μέλη σε σύνδεση