Μεγιστοποίηση για μερακλήδες

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση για μερακλήδες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 30, 2021 9:54 am

Μεγιστοποίηση για  μερακλήδες.png
Μεγιστοποίηση για μερακλήδες.png (11.43 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές
Σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2 , κινούνται σημεία S , T , ώστε : \widehat{SOT}=90^0 . Έστω P ,

η προβολή του T πάνω στην διάμετρο AB . α) Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος SP .

β) Εξετάστε αν κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης , το SP διέρχεται από το μέσο M της OT .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγιστοποίηση για μερακλήδες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Απρ 30, 2021 11:09 am

Μεγιστοποίηση για μερακλήδες.png
Μεγιστοποίηση για μερακλήδες.png (28.65 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Γράφω τον κύκλο διαμέτρου OT (με κέντρο το M) που τέμνει την OM στο D.

Ας είναι SP = y. Από την τριγωνική ανισότητα στο \vartriangle MSP θα είναι :

y \leqslant MO + MP , το ίσον ισχύει όταν τα S,M,P στην ίδια ευθεία. Τότε:

O{S^2} = SD \cdot SP \Rightarrow 1 = \left( {y - 1} \right)y \Rightarrow \boxed{{y_{\max }} = \varphi }

Παρατήρηση .

" δια χειρός KARKAR" ;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση για μερακλήδες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 30, 2021 1:27 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 30, 2021 9:54 am
Μεγιστοποίηση για μερακλήδες.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2 , κινούνται σημεία S , T , ώστε : \widehat{SOT}=90^0 . Έστω P ,

η προβολή του T πάνω στην διάμετρο AB . α) Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος SP .

β) Εξετάστε αν κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης , το SP διέρχεται από το μέσο M της OT .
Δίνω μία άκομψη λύση.


Με τους συμβολισμούς του σχήματος, τα τρίγωνα SKO, OPT είναι ίσα, άρα  KO = PT = 1 - x,

SK = OP = \sqrt {2x - {x^2}} . Είναι ακόμα \displaystyle \sin \theta  = \frac{1}{{SM}}.
Μεγιστοποίηση για μερακλήδες.png
Μεγιστοποίηση για μερακλήδες.png (16.41 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές
α) \displaystyle S{P^2} = S{K^2} + K{P^2} = 2x - {x^2} + {\left( {(1 - x) + \sqrt {2x - {x^2}} } \right)^2} και

\displaystyle S{P^2} =  - {x^2} + 2x + 1 + 2(1 - x)\sqrt {2x - {x^2}}

Με παραγώγους τώρα βρίσκω \boxed{S{P_{\max }} = \Phi } για \boxed{ x = 1 - \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{{10}}} }

β) \displaystyle (SOPT) = \frac{1}{2}SP \cdot OT\sin \theta  = (SOT) + (OPT) = \frac{1}{2}\left( {1 + (1 - x)\sqrt {2x - {x^2}} } \right) \Leftrightarrow

\displaystyle SM = \frac{\Phi }{{1 + (1 - x)\sqrt {2x - {x^2}} }}, όπου μετά τις πράξεις βγαίνει \displaystyle SM = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow MP = \frac{1}{2} = \frac{{OT}}{2},

άρα το M είναι μέσο του OT.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση για μερακλήδες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μάιος 01, 2021 7:44 pm

Καλησπέρα σε όλους. Καλό Πάσχα και καλό μήνα εύχομαι.

Μια απαγορευμένη τριγωνομετρική (με τις εξαιρετικά εύχρηστες πολικές συντεταγμένες), μερακλίδικη κι αυτή, σαν τις προηγούμενες γεωμετρικές του Νίκου και του Γιώργου.
Την αναρτώ για να φαίνεται η διαφορά των εργαλείων που χρησιμοποιήθηκαν. Δεν βρήκα αλγεβρική κατάληξη, οπότε αναγκαστικά χρησιμοποίησα παραγώγους.
Απαγορευμένη τριγωνομετρία.jpg
Απαγορευμένη τριγωνομετρία.jpg (49.75 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές

Έστω ημικύκλιο x^2+y^2=1, y \ge 0,  \displaystyle \varphi  = \widehat {{\rm B}{\rm O}{\rm T}},\;\;0 \le \varphi  \le 180^\circ , άρα  \displaystyle P\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;0} \right) και, αφού  \displaystyle {\rm O}{\rm T} \bot {\rm O}S , θα είναι \displaystyle \;S\left( { - \eta \mu \varphi ,\;\sigma \upsilon \nu \varphi } \right) .

Μεγιστοποίηση για  μερακλήδες.png
Μεγιστοποίηση για μερακλήδες.png (11.43 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές

 \displaystyle SP = \sqrt {{{\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi  + \eta \mu \varphi } \right)}^2} + \sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }  = \sqrt {\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi  + \eta \mu 2\varphi  + 1}

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( x \right) = \sigma \upsilon {\nu ^2}x + \eta \mu 2x + 1,\;\;x \in \left[ {0,\pi } \right] έχει παράγωγο
 \displaystyle f'\left( x \right) =  - \eta \mu 2x + 2\sigma \upsilon \nu 2x

Για  \displaystyle x \in \left[ {0,\;\pi } \right] είναι  \displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 2x = 2 \Leftrightarrow \varepsilon {\varphi ^2}x + \varepsilon \varphi x - 1 = 0 οπότε  \displaystyle \varepsilon \varphi x = \Phi  - 1\;\; \vee \;\;\varepsilon \varphi x =  - \Phi (απορ.)


Είναι  \displaystyle f'\left( x \right) > 0 για  \displaystyle 0 < \varepsilon \varphi 2x < 2 και  \displaystyle f'\left( x \right) < 0 για  \displaystyle \varepsilon \varphi 2x > 2 , οπότε για  \displaystyle {x_0} = \tau o\xi \varepsilon \varphi \left( {\Phi  - 1} \right) έχουμε μέγιστο.

Τότε  \displaystyle \sigma \upsilon {\nu ^2}{x_0} = \frac{{\sqrt 5  + 5}}{{10}},\;\;\eta \mu 2{x_0} = \frac{4}{5} , οπότε  \displaystyle S{P_{\max }} = \frac{{\sqrt {2\sqrt 5  + 6} }}{2} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} = \Phi .

Το μέγιστο παρουσιάζεται σε δύο θέσεις του P, τις  \displaystyle P\left( { \pm \sqrt {\frac{{\sqrt 5  + 5}}{{10}}} ,\;0} \right) .


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6324
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μεγιστοποίηση για μερακλήδες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Μάιος 01, 2021 11:02 pm

Χωρίς παραγώγους, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του Γιώργου ( Γεια σου Γιώργο :byebye: ):

\displaystyle{SP=\sqrt{\cos ^2 \phi +\sin 2\phi +1}=\sqrt{\frac{1+\cos 2\phi }{2}+\sin 2\phi +1}=\sqrt{\frac{3}{2}+\sin 2\phi +\frac{1}{2}\cos 2\phi}\leq}

\displaystyle{\leq \sqrt{\frac{3}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση για μερακλήδες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μάιος 02, 2021 10:58 am

matha έγραψε:
Σάβ Μάιος 01, 2021 11:02 pm
Χωρίς παραγώγους, ...
Καλημέρα και Χρόνια πολλά σε όλους! Θάνο, ευχαριστώ! Έψαχνα για αλγεβρικές μεθόδους μεγιστοποίησης (μεταβλητές με σταθερό άθροισμα κ.λπ.) και δεν έβλεπα τις βασικές ανισότητες :shock:

Ως αντίδωρο στην ανισότητα B-C-S του Θάνου, μια παραλλαγή με διανύσματα:

Eίναι  \displaystyle SP = \sqrt {\frac{3}{2} + \frac{{2\eta \mu 2\varphi  + \sigma \upsilon \nu 2\varphi }}{2}}

 \displaystyle \vec v = \left( {\eta \mu 2\varphi ,\;\sigma \upsilon \nu 2\varphi } \right),\;\;\varphi  \in \left[ {0,\pi } \right],\;\;\vec w = \left( {2,1} \right)

 \displaystyle \vec v \cdot \vec w = 2\eta \mu 2\varphi  + \sigma \upsilon \nu 2\varphi  \le \sqrt {{2^2} + 1}  \cdot \sqrt {\eta {\mu ^2}2\varphi  + \sigma \upsilon {\nu ^2}2\varphi }  = \sqrt 5 , με το ίσον όταν  \displaystyle \vec v \nearrow  \nearrow \vec w \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 2\varphi  = 2, κ.ο.κ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης