Μέγιστο γινόμενο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 19, 2021 2:14 pm

Μέγιστο  γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι AB=8 , AC=6 . Ευθεία κάθετη στην AB , τέμνει την AM στο S ,

την διάμεσο CM στο P και την CB στο T . Υπολογίστε το (SP\cdot PT)_{max} . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 19, 2021 4:23 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 19, 2021 2:14 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι AB=8 , AC=6 . Ευθεία κάθετη στην AB , τέμνει την AM στο S ,

την διάμεσο CM στο P και την CB στο T . Υπολογίστε το (SP\cdot PT)_{max} . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !
Έστω SM=x.
Μέγιστο γινόμενο.Κ..png
Μέγιστο γινόμενο.Κ..png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές
\displaystyle \frac{{SP}}{6} = \frac{x}{4} \Leftrightarrow SP = \frac{{3x}}{2} και \displaystyle \frac{{ST}}{6} = \frac{{4 + x}}{8} \Leftrightarrow ST = \frac{{3x + 12}}{4} \Rightarrow PT = \frac{{12 - 3x}}{4}

\displaystyle SP \cdot PT =  - \frac{{9({x^2} - 4x)}}{8} =  - \frac{9}{8}{(x - 2)^2} + \frac{9}{2} \le \frac{9}{2}

Άρα \boxed{{(SP \cdot PT)_{\max }} = \frac{9}{2}} όταν \boxed{SM=x=2}


ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Σε αυτή τη θέση τα δύο τμήματα έχουν ίσο άθροισμα και γινόμενο (SP = 3,PT = \dfrac{3}{2}).

Αν το ζητούμενο ήταν: να βρεθεί η θέση του S ώστε SP + PT = SP \cdot PT, τότε εκτός από την παραπάνω

λύση θα είχαμε και άλλη μία για x=\dfrac{4}{3} και SP=PT=2.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Απρ 19, 2021 8:28 pm

Καλησπέρα σε όλους. Με τη μέθοδο των παλαιών αλγεβριστών.


19-04-2021 Γεωμετρία.png
19-04-2021 Γεωμετρία.png (15.35 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές


Από την ομοιότητα των τριγώνων SPM, AMC έχουμε  \displaystyle \frac{x}{{4 - \alpha }} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = 6 - \frac{3}{2}\alpha

και από την ομοιότητα των τριγώνων STB, ABC έχουμε  \displaystyle \frac{{x + y}}{{8 - \alpha }} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x + y = 6 - \frac{3}{4}\alpha

οπότε, αφαιρώντας κατά μέλη  \displaystyle y = \frac{3}{4}\alpha  \Rightarrow 2y = \frac{3}{2}\alpha

Οι θετικοί αριθμοί x, 2y έχουν σταθερό άθροισμα 6, οπότε έχουν μέγιστο γινόμενο όταν γίνουν ίσοι (αφού μπορεί να γίνουν ίσοι).

Τότε  \displaystyle 6 - \frac{3}{2}\alpha  = \frac{3}{2}\alpha  \Leftrightarrow \alpha  = 2 . Οπότε {(SP\cdotPT)_{max}} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2102
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Μέγιστο γινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Απρ 19, 2021 9:27 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 19, 2021 2:14 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι AB=8 , AC=6 . Ευθεία κάθετη στην AB , τέμνει την AM στο S ,

την διάμεσο CM στο P και την CB στο T . Υπολογίστε το (SP\cdot PT)_{max} . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !
SP=x,TP=y,AS=t, ML\perp AB,ML=3,SP//AC

     \Rightarrow \dfrac{x}{6}=\dfrac{4-t}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{12-2x}{3},(1),LM//ST\Rightarrow 

         \dfrac{3}{x+y}=\dfrac{4}{8-t},(2), 

       (1),(2)\Rightarrow x+2y=6, xy=2(-y^{2}+3y)=2w

        \Rightarrow y^{2}-3y+w=0,\Delta \geq0

 \Rightarrow w_{max}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow max(xy)=\dfrac{9}{2},y=\dfrac{3}{2},x=3
Συνημμένα
Μέγιστο γινόμενο.png
Μέγιστο γινόμενο.png (23.88 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Απρ 19, 2021 10:26 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 19, 2021 2:14 pm
Μέγιστο γινόμενο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι AB=8 , AC=6 . Ευθεία κάθετη στην AB , τέμνει την AM στο S ,

την διάμεσο CM στο P και την CB στο T . Υπολογίστε το (SP\cdot PT)_{max} . Αναζητούνται πολλοί τρόποι !
Με N μέσον της BC είναι ME//DS κι από θ.κ.δέσμης \dfrac{PT}{TD} = \dfrac{MN}{NE}=1

Αν SP=x και PT=TD=y, από x+2y=6\Rightarrow y= \dfrac{6-x}{2} και SP.PT=\dfrac{(6-x)x}{2} με 0<x<6

που παίρνει μέγιστη τιμή \dfrac{9}{2} } για x=3
μέγιστο γινόμενο.png
μέγιστο γινόμενο.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8043
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο γινόμενο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 19, 2021 11:38 pm

Υποθέτουμε το S κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα AM. Έστω N το σταθερό μέσο της υποτείνουσας BC
Μέγιστο γινόμενο _Karakar.png
Μέγιστο γινόμενο _Karakar.png (14.32 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Ας είναι \boxed{\frac{{MS}}{{MA}} = x} θα έχουμε ταυτόχρονα :\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{PS}}{6} = x \hfill \\ 
  \frac{{PT}}{3} = 1 - x \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow PS \cdot PT = 18x(1 - x) =  - 18{x^2} + 18x \leqslant \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow  - 18{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \leqslant 0

Άρα όταν το S είναι το μέσο του AM έχω το μεγαλύτερο γινόμενο που είναι 4,5


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 20, 2021 12:01 pm

Γενίκευση:
Μέγιστο γινόμενο.Κ1.png
Μέγιστο γινόμενο.Κ1.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές
Με την ίδια τεχνική που ακολουθήθηκε πιο πάνω (#2) βρίσκω \displaystyle SP = \frac{{2bx}}{c},PT = \frac{{bc - 2bx}}{{2c}}.

\displaystyle SP \cdot PT = \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}}\left( { - 2{x^2} + cx} \right) =  - \frac{{2{b^2}}}{{{c^2}}}{\left( {x - \frac{c}{4}} \right)^2} + \frac{{{b^2}}}{8} \le \frac{{{b^2}}}{8}

Άρα, \boxed{{(SP \cdot PT)_{\max }} = \frac{{{b^2}}}{8}} για \boxed{x=\frac{c}{4}}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο γινόμενο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τρί Απρ 20, 2021 12:20 pm

Η κάθετος από το M στην AB τέμνει την CB στο N. Τότε είναι

\displaystyle{ 
\left. 
\begin{aligned} 
& {SP \over CA} = {SM \over AM} \cr 
& {PT \over NM} = {CP \over CM} = {AS \over AM} \cr 
\end{aligned} 
\right\} \rightarrow SP \cdot PT = {CA \cdot MN \over AM^2} AS \cdot ST 
}

οπότε \displaystyle (SP \cdot PT)_{max} = (AS \cdot ST)_{max},
και συμβαίνει όταν το S είναι το μέσον της AM. Τότε λοιπόν

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& SP = {CA \over 2}, \ \ \ PT = {MN \over 2} = {CA \over 4} \cr 
& (SP \cdot PT)_{max} = {CA^2 \over 8} \cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_maxprod47.png
rsz_maxprod47.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης