Συνάρτηση για εμβαδόν

KARKAR · #1

: Συνάρτηση για το εμβαδόν.png (9.89 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές

Σημείο

κινείται στην βάση

του τριγώνου ABC

, από το

ως και το

. Φέρουμε $SP \perp AB$ ,

$ST\perp AC$ . Δημιουργήστε συνάρτηση f , (f(x)=f(BS))

, η οποία να αποδίδει το εμβαδόν του

τριγώνου SPT

. Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης και δείξτε ότι : $f(x)=f(8-x) , 0\leq x \leq 8$ .

Εξηγήστε επίσης γιατί για κάθε $n \in \{1,2,3,4 \}$ , το 10f(n)

είναι ακέραιος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 17, 2021 8:32 pm
Συνάρτηση για το εμβαδόν.pngΣημείο κινείται στην βάση του τριγώνου , από το ως και το . Φέρουμε $SP \perp AB$ ,

$ST\perp AC$ . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το εμβαδόν του

τριγώνου . Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης και δείξτε ότι : $f(x)=f(8-x) , 0\leq x \leq 8$ .

Εξηγήστε επίσης γιατί για κάθε $n \in \{1,2,3,4 \}$ , το είναι ακέραιος .

Αν

είναι το

. εύκολα βρίσκουμε ότι οι ευθείες $AB,\, AC$ είναι οι $y=3x,\, y=8-x$ , αντίστοιχα, και άρα οι $SP,\, ST$ είναι οι $y=-\dfrac {1}{3} (x-s)$ και y=x-s

, αντίστοιχα. Λύνοντας τα συστήματα βρίσκουμε τα $P\left ( \dfrac {s}{10},\, \dfrac {3s}{10} \right )$ και $T\left (4+ \dfrac {s}{2} ,\, 4- \dfrac {s}{2} \right )$ . Με έτοιμο τύπο από (την εκτός ύλης ) αρίζουσα ή απευθείας βρίσκουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου SPT

είναι

$(SPT) =f(s)= \dfrac {3}{10}s(s-8)$ .

Τα υπόλοιπα άμεσα, με μέγιστο στο s=4

.

Σχόλιο: Η άσκηση είναι περισσότερο Λογιστική παρά Μαθηματικές ιδέες. Προσοχή, δεν λέω ότι στην διαδικασία μάθησης η Λογιστική είναι μεπτή. Ίσα ίσα πρέπει, απαραίτητα, να αποκτείσει κανείς ευχέρια στις πράξεις. Το σχόλιο μου αφορά την κατάταξη της άσκησης ως προς τα χαρακτηριστικά της.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 17, 2021 8:32 pm
Συνάρτηση για το εμβαδόν.pngΣημείο κινείται στην βάση του τριγώνου , από το ως και το . Φέρουμε $SP \perp AB$ ,

$ST\perp AC$ . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το εμβαδόν του

τριγώνου . Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης και δείξτε ότι : $f(x)=f(8-x) , 0\leq x \leq 8$ .

Εξηγήστε επίσης γιατί για κάθε $n \in \{1,2,3,4 \}$ , το είναι ακέραιος .

Ο.ν.συνημιτόνου δίνει $\angle C=45^0$ και θεωρώντας τα ύψη BQ,CE

θα είναι (Π.Θ στο τρίγωνο QBC

)

$BQ=QC=4 \sqrt{2} \Rightarrow AQ=2 \sqrt{2}$ .

Ακόμη,εύκολα παίρνουμε $CE= \dfrac{24}{ \sqrt{10} }$ και $sin \theta = sinA= \dfrac{4 \sqrt{2} }{2 \sqrt{10} } = \dfrac{2}{ \sqrt{5} }$

$\dfrac{8-x}{8}= \dfrac{ST}{4 \sqrt{2} } \Rightarrow ST= \dfrac{(8-x) \sqrt{2} }{2}$ και

$\dfrac{x}{8}= \dfrac{SP}{ \dfrac{24}{ \sqrt{10} } } \Rightarrow SP= \dfrac{3x}{ \sqrt{10} }$

Από $(TSP)= \dfrac{ST.SP.sin \theta }{2} \Rightarrow (TSP)= \dfrac{3}{10}(8-x)x$ , $0\leq x \leq 8$ και $maxf= \dfrac{24}{5}$ για x=4

Τα άλλα ερωτήματα ,προφανή.

: Συνάρτηση για εμβαδόν.png (24.35 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 17, 2021 8:32 pm
Συνάρτηση για το εμβαδόν.pngΣημείο κινείται στην βάση του τριγώνου , από το ως και το . Φέρουμε $SP \perp AB$ ,

$ST\perp AC$ . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το εμβαδόν του

τριγώνου . Βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης και δείξτε ότι : $f(x)=f(8-x) , 0\leq x \leq 8$ .

Εξηγήστε επίσης γιατί για κάθε $n \in \{1,2,3,4 \}$ , το είναι ακέραιος .

Φέρνω το ύψος AD=6

του

Εύκολα $\displaystyle (ABC) = 24$ και με Π. Θ βρίσκω $\displaystyle AB = 2\sqrt {10} ,AC = 6\sqrt 2.$ Από τα εμβαδά των τριγώνων ABS, ASC

προκύπτει ότι:

: Συνάρτηση για εμβαδόν.png (13.33 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} ST \cdot AB = 6x\\ \\ SP \cdot AC = 6(8 - x) \end{array} \right. \Rightarrow ST \cdot SP = \frac{{36x(8 - x)}}{{AB \cdot AC}} \Leftrightarrow \frac{{ST \cdot SP}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{36x(8 - x)}}{{{{(24\sqrt 5 )}^2}}}$

Τα τρίγωνα SPT, ABC

έχουν μία γωνία παραπληρωματική, άρα:

$\displaystyle (SPT) = \frac{{ST \cdot SP}}{{AB \cdot AC}}(ABC) = \frac{{3x(8 - x)}}{{24 \cdot 10}} \cdot 24 \Leftrightarrow$ $\boxed{(SPT) = f(x) = \frac{3}{{10}}x(8 - x),0 \le x \le 8}$

H

παρουσιάζει για $\boxed{x=4}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{{(SPT)_{\max }} = \frac{{24}}{5}}$

Είναι $\displaystyle f(8 - x) = \frac{3}{{10}}(8 - x)x = f(x)$ και $\displaystyle 10f(x) = 3x(8 - x),$ που εξηγεί την ακεραιότητα του τελευταίου ερωτήματος.

Συνάρτηση για εμβαδόν

Συνάρτηση για εμβαδόν

Re: Συνάρτηση για εμβαδόν

Re: Συνάρτηση για εμβαδόν

Re: Συνάρτηση για εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση