Τοξικός λόγος

KARKAR · #1

: Τοξικός λόγος.png (8.78 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset\frown{AB}$ , θεωρούμε τα διαδοχικά και ίσα τόξα $\overset\frown{AS}$ και $\overset\frown{ST}$ και ονομάζουμε

S' , T'

, τις προβολές των S , T

στην

. Αν $\dfrac{SS'}{TT'}=\dfrac{3}{5}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{OT'}{T'S'}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 16, 2021 1:43 pm
Τοξικός λόγος.pngΣτο τεταρτοκύκλιο $O\overset\frown{AB}$ , θεωρούμε τα διαδοχικά και ίσα τόξα $\overset\frown{AS}$ και $\overset\frown{ST}$ και ονομάζουμε

, τις προβολές των στην . Αν $\dfrac{SS'}{TT'}=\dfrac{3}{5}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{OT'}{T'S'}$ .

: Τοξικός λόγος.png (11.22 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} SS' = R\sin \theta \\ \\ TT' = R\sin 2\theta \end{array} \right. \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{1}{{2\cos \theta }} \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{5}{6}$ και $\displaystyle \cos 2\theta = 2{\cos ^2}\theta - 1 = \frac{7}{{18}}$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} OT' = R\cos 2\theta \\ \\ OS' = R\cos \theta \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{OT'}}{{OS'}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\dfrac{OT'}{T'S'}=\dfrac{7}{8}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 16, 2021 1:43 pm
Τοξικός λόγος.pngΣτο τεταρτοκύκλιο $O\overset\frown{AB}$ , θεωρούμε τα διαδοχικά και ίσα τόξα $\overset\frown{AS}$ και $\overset\frown{ST}$ και ονομάζουμε

, τις προβολές των στην . Αν $\dfrac{SS'}{TT'}=\dfrac{3}{5}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{OT'}{T'S'}$ .

$OT'=x,T'S'=y,\hat{SOA}=\hat{SOT}\Rightarrow \dfrac{MT'}{x}=\dfrac{MT}{R}=\dfrac{TT'}{x+R},(1), MT'//SS'\Rightarrow \dfrac{MT'}{SS'}=\dfrac{x}{x+y},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{3}{5}=\dfrac{x+y}{x+R},(*), SS'^{2}=R^{2}-(x+y)^{2},TT'^{2}=R^{2}-x^{2}\Rightarrow \dfrac{9}{25}=\dfrac{R^{2}-(x+y)^{2}}{R^{2}-x^{2}},(**), (*),(**)\Rightarrow x=\dfrac{7R}{18},y=\dfrac{4R}{9},\dfrac{x}{y}=\dfrac{7}{8}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 16, 2021 1:43 pm
Τοξικός λόγος.pngΣτο τεταρτοκύκλιο $O\overset\frown{AB}$ , θεωρούμε τα διαδοχικά και ίσα τόξα $\overset\frown{AS}$ και $\overset\frown{ST}$ και ονομάζουμε

, τις προβολές των στην . Αν $\dfrac{SS'}{TT'}=\dfrac{3}{5}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{OT'}{T'S'}$ .

$SO//TQ \Rightarrow \triangle QTT' \simeq \triangle OSS' \Rightarrow \dfrac{SS'}{TT'}= \dfrac{r}{TQ}= \dfrac{3}{5} \Rightarrow QT= \dfrac{5r}{3}$

κι από $QT^2=QT'.2r \Rightarrow QT'= \dfrac{25r}{18 } \Rightarrow OT'= \dfrac{7r}{18}$

Από $\dfrac{OZ}{QT}= \dfrac{OT'}{QT'}$ παίρνουμε $OZ= \dfrac{7r}{15} \Rightarrow ZS= \dfrac{8r}{15}$ και $\dfrac{OT'}{T'S'} = \dfrac{OZ}{ZS} = \dfrac{7}{8}$

: Τοξικός λόγος.png (24.91 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές

nickchalkida · #5

Από την ομοιότητα των τριγώνων παίρνουμε

$\displaystyle{ {SS' \over TT'} = {OS' \over CT'} = {OT' + T'S' \over CO + OT'} = {1+ { T'S' \over OT'} \over {1 \over \cos 2a} + 1} \ \ \ (1) }$

επίσης είναι

$\displaystyle{ {SS' \over TT'} = {\sin a \over \sin 2a} = {\sin a \over 2 \sin a \cos a} = {1 \over 2 \cos a} }$

θέτω ${SS' \over TT'}=d$ και ${ OT' \over T'S'}=x$ τότε είναι

$\displaystyle{ d^2 = {1 \over 4 \cos^2 a} \rightarrow 2d^2 = {1 \over 2 \cos^2 a} \rightarrow {2d^2 \over 1- 2d^2} = {1 \over \cos 2a} \ \ \ (2) }$

Από (1),(2) παίρνω

$\displaystyle{ d = {1 + {1 \over x} \over 1 + {2d^2\over 1-2d^2}} \rightarrow \cdots \rightarrow x = {1-2d^2\over d-1+2d^2} }$

για $d={3 \over 5}$ βρίσκω $x={7 \over 8}$

Τοξικός λόγος

Τοξικός λόγος

Re: Τοξικός λόγος

Re: Τοξικός λόγος

Re: Τοξικός λόγος

Re: Τοξικός λόγος

Μέλη σε σύνδεση