Μέγιστη προβολή

KARKAR · #1

: Μέγιστη προβολή.png (10.29 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές

Η κάθετη πλευρά AC=b

, του ορθογωνίου τριγώνου ABC

είναι σταθερή , εν αντιθέσει με την

,

η οποία μεταβάλλεται . Φέροντας το ύψος

και την διχοτόμο

σχηματίζεται το τμήμα DE=x

,

του οποίου την προβολή D'E'

, στην

, ονομάζουμε

. Βρείτε την μέγιστη τιμή του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 15, 2021 6:52 pm
Μέγιστη προβολή.pngΗ κάθετη πλευρά , του ορθογωνίου τριγώνου είναι σταθερή , εν αντιθέσει με την ,

η οποία μεταβάλλεται . Φέροντας το ύψος και την διχοτόμο σχηματίζεται το τμήμα ,

του οποίου την προβολή , στην , ονομάζουμε . Βρείτε την μέγιστη τιμή του τμήματος .

: Μεγίστη προβολή_ok.png (17.21 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές

Επιλέγω σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

και μοναδιαίο του κατακόρυφου άξονα το διάνυσμα $\boxed{\overrightarrow j = AC}$ .

Αν $B(b,0),\,\,b > 0$ προκύπτουν εύκολα :

$AD \to y = bx\,\,,\,\,AE \to y = x,\,\,BC \to \dfrac{{ - x}}{b} + 1$ και $E'\left( {0,\dfrac{b}{{b + 1}}} \right)\,\,,\,\,D'\left( {0,\dfrac{{{b^2}}}{{1 + {b^2}}}} \right)$ , άρα:

$\boxed{D'E' = f(b) = \dfrac{{{b^2}}}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{b}{{1 + b}}}$ κι έχει μέγιστο για $\boxed{{b_0} = \sqrt \varphi + \varphi }$ , $\boxed{\varphi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$ και είναι

Και είναι : $\boxed{D'{{E'}_{\max }} = f({b_0}) \simeq 0,1501415530}$

Αν το μήκος της σταθερής πλευράς AC = k

το πιο πάνω αποτέλεσμα προφανώς

πολλαπλασιάζεται με τη σταθερά αυτή.

Παρατήρηση :Ακριβώς, $D'{E'_{\max }} = f({b_0}) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {2\sqrt 5 + 2} + 1 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}{{\sqrt {64\sqrt 5 + 128} + 4\sqrt 5 + 12}} - \dfrac{{\sqrt {8\sqrt 5 + 8} + 2\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt {8\sqrt 5 + 8} + 2\sqrt 5 + 6}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 15, 2021 6:52 pm
Μέγιστη προβολή.pngΗ κάθετη πλευρά , του ορθογωνίου τριγώνου είναι σταθερή , εν αντιθέσει με την ,

η οποία μεταβάλλεται . Φέροντας το ύψος και την διχοτόμο σχηματίζεται το τμήμα ,

του οποίου την προβολή , στην , ονομάζουμε . Βρείτε την μέγιστη τιμή του τμήματος .

Θέτω

και έστω

η προβολή του

στην

Είναι

και τα τρίγωνα DZE, CAB

είναι όμοια,

άρα $\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{bx}}{a}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle x = CE - CD = \frac{{ab}}{{b + c}} - \frac{{{b^2}}}{a}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{y = \frac{{{b^2}({a^2} - {b^2} - bc)}}{{{a^2}(b + c)}}}$ (2)

: Μέγιστη προβολή.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές

Επειδή όμως a^2=b^2+c^2

και

η

γράφεται $\boxed{y = f(t) = b\left( {\frac{{{t^2} - t}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}}} \right)}$ και με τη βοήθεια

παραγώγων βρίσκω ότι παρουσιάζει για $\boxed{t = \Phi + \sqrt \Phi } ,$ μέγιστο ίσο με $\boxed{{y_{\max }} = \frac{b}{2}(2\Phi - 3)\sqrt \Phi} (*)$

(*)

$\displaystyle \Phi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$ και $\displaystyle {y_{\max }} = \frac{b}{4}\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\sqrt {2\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}$

Μέγιστη προβολή

Μέγιστη προβολή

Re: Μέγιστη προβολή

Re: Μέγιστη προβολή

Μέλη σε σύνδεση