Ίχνη διχοτόμου

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12471
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίχνη διχοτόμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 08, 2021 7:53 pm

Ίχνη  διχοτόμου.png
Ίχνη διχοτόμου.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
Σημείο T κινείται στο "δυτικό" ημικύκλιο , κύκλου (K) με εξίσωση : (x-2)^2+y^2=16 . Η εφαπτομένη

του κύκλου στο T , τέμνει την ευθεία x=2 , στο σημείο P . Η PS είναι διχοτόμος στο τρίγωνο PKT .

Περιγράψτε επακριβώς - και με καρτεσιανή εξίσωση - τον γεωμετρικό τόπο του ίχνους S της διχοτόμου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίχνη διχοτόμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 09, 2021 9:01 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 08, 2021 7:53 pm
Ίχνη διχοτόμου.pngΣημείο T κινείται στο "δυτικό" ημικύκλιο , κύκλου (K) με εξίσωση : (x-2)^2+y^2=16 . Η εφαπτομένη

του κύκλου στο T , τέμνει την ευθεία x=2 , στο σημείο P . Η PS είναι διχοτόμος στο τρίγωνο PKT .

Περιγράψτε επακριβώς - και με καρτεσιανή εξίσωση - τον γεωμετρικό τόπο του ίχνους S της διχοτόμου .
Θα ορίσω διαφορετικά το σημείο S και θα αποδείξω ότι είναι το ίδιο με το σημείο της εκφώνησης. Η PT τέμνει την ευθεία

x=-2 στο E. Από το E φέρνω παράλληλη στον x'x που τέμνει την ευθεία x=2 στο F και την KT στο S.

Προφανώς το S είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου PEK. Αλλά, EF=AK=KT=4, άρα PE=PK,

οπότε το S είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας T\widehat PK και εύκολα τώρα SE=SK.


Ίχνη διχοτόμου.Ι.png
Ίχνη διχοτόμου.Ι.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
Άρα το S ισαπέχει από το σημείο K(2,0) και από την ευθεία x=-2, που σημαίνει ότι κινείται σε μία παραβολή

με εστία το K και διευθετούσα την ευθεία x=-2. Η καρτεσιανή εξίσωση του τόπου είναι \boxed{ {y^2} = 8x}

Διερεύνηση: Στο σχήμα ο γεωμετρικός τόπος είναι η κόκκινη καμπύλη. Τα σημεία N, L (NL είναι η διάμετρος του

κύκλου πάνω στην ευθεία x=2) είναι οι οριακές θέσεις του τόπου, ενώ το σημείο O(0,0) δεν είναι σημείο του

τόπου, καθόσον η εφαπτομένη του κύκλου στο A καθίσταται παράλληλη με τη ευθεία x=2.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 143
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ίχνη διχοτόμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Απρ 09, 2021 9:08 pm

Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με κέντρο K και τους συμβολισμούς του σχήματος, διαδοχικά υπολογίζω

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& TK=4,\ SK=\sqrt{x^2+y^2},\ TS=4-\sqrt{x^2+y^2} \cr 
& {TK \over TH} = {x\over y} \rightarrow TH = {4y \over x} \cr 
& TP \cdot TH = TK^2 \rightarrow TP = {4x \over y} \cr 
& HK^2 = TK^2 + TH^2 = {16(x^2+y^2) \over x^2} \cr 
& KP^2 = TK^2 + TP^2 = {16(x^2+y^2) \over y^2} \cr 
\end{aligned} 
}

Από θεώρημα διχοτόμων είναι τότε

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& {TS \over SK} = {TP \over KP} \rightarrow {4- \sqrt{x^2+y^2} \over \sqrt{x^2+y^2} }  = {{4x \over y} \over {4 \over y}\sqrt{x^2+y^2}} \rightarrow \cr 
& y^2 = 16 - 8x \cr 
\end{aligned} 
}

που στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων του προβλήματος γράφεται (X: 2-x)

\displaystyle{ 
Y^2 = 8X 
}
Συνημμένα
rsz_1parabola12.png
rsz_1parabola12.png (67.31 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες