Ίχνη διχοτόμου

KARKAR · #1

: Ίχνη διχοτόμου.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές

Σημείο

κινείται στο "δυτικό" ημικύκλιο , κύκλου (K)

με εξίσωση : (x-2)^2+y^2=16

. Η εφαπτομένη

του κύκλου στο

, τέμνει την ευθεία x=2

, στο σημείο

. Η

είναι διχοτόμος στο τρίγωνο PKT

.

Περιγράψτε επακριβώς - και με καρτεσιανή εξίσωση - τον γεωμετρικό τόπο του ίχνους

της διχοτόμου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 08, 2021 7:53 pm
Ίχνη διχοτόμου.pngΣημείο κινείται στο "δυτικό" ημικύκλιο , κύκλου με εξίσωση : . Η εφαπτομένη

του κύκλου στο , τέμνει την ευθεία , στο σημείο . Η είναι διχοτόμος στο τρίγωνο .

Περιγράψτε επακριβώς - και με καρτεσιανή εξίσωση - τον γεωμετρικό τόπο του ίχνους της διχοτόμου .

Θα ορίσω διαφορετικά το σημείο

και θα αποδείξω ότι είναι το ίδιο με το σημείο της εκφώνησης. Η

τέμνει την ευθεία

x=-2

στο

Από το

φέρνω παράλληλη στον x'x

που τέμνει την ευθεία x=2

στο

και την

στο

Προφανώς το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου PEK.

Αλλά,

άρα

οπότε το

είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας $T\widehat PK$ και εύκολα τώρα SE=SK.

: Ίχνη διχοτόμου.Ι.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές

Άρα το

ισαπέχει από το σημείο K(2,0)

και από την ευθεία x=-2,

που σημαίνει ότι κινείται σε μία παραβολή

με εστία το

και διευθετούσα την ευθεία x=-2.

Η καρτεσιανή εξίσωση του τόπου είναι $\boxed{ {y^2} = 8x}$

Διερεύνηση: Στο σχήμα ο γεωμετρικός τόπος είναι η κόκκινη καμπύλη. Τα σημεία N, L

(

είναι η διάμετρος του

κύκλου πάνω στην ευθεία x=2

) είναι οι οριακές θέσεις του τόπου, ενώ το σημείο O(0,0)

δεν είναι σημείο του

τόπου, καθόσον η εφαπτομένη του κύκλου στο

καθίσταται παράλληλη με τη ευθεία x=2.

nickchalkida · #3

Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με κέντρο

και τους συμβολισμούς του σχήματος, διαδοχικά υπολογίζω

$\displaystyle{ \begin{aligned} & TK=4,\ SK=\sqrt{x^2+y^2},\ TS=4-\sqrt{x^2+y^2} \cr & {TK \over TH} = {x\over y} \rightarrow TH = {4y \over x} \cr & TP \cdot TH = TK^2 \rightarrow TP = {4x \over y} \cr & HK^2 = TK^2 + TH^2 = {16(x^2+y^2) \over x^2} \cr & KP^2 = TK^2 + TP^2 = {16(x^2+y^2) \over y^2} \cr \end{aligned} }$

Από θεώρημα διχοτόμων είναι τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & {TS \over SK} = {TP \over KP} \rightarrow {4- \sqrt{x^2+y^2} \over \sqrt{x^2+y^2} } = {{4x \over y} \over {4 \over y}\sqrt{x^2+y^2}} \rightarrow \cr & y^2 = 16 - 8x \cr \end{aligned} }$

που στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων του προβλήματος γράφεται (X: 2-x)

$\displaystyle{ Y^2 = 8X }$

Ίχνη διχοτόμου

Ίχνη διχοτόμου

Re: Ίχνη διχοτόμου

Re: Ίχνη διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση