Από τόπο σε τόπο

KARKAR · #1

: Από τόπο σε τόπο.png (8.5 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Σημείο

κινείται σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας

. Φέρουμε $ST \perp OA$ . Βρείτε τις καρτεσιανές εξισώσεις

του γεωμετρικού τόπου του εγκέντρου

και του γεωμετρικού τόπου του βαρυκέντρου

, του τριγώνου SOT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 01, 2021 7:55 pm
Από τόπο σε τόπο.pngΣημείο κινείται σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Φέρουμε $ST \perp OA$ . Βρείτε τις καρτεσιανές εξισώσεις

του γεωμετρικού τόπου του εγκέντρου και του γεωμετρικού τόπου του βαρυκέντρου , του τριγώνου .

Προς το παρόν, για το βαρύκεντρο.

$\displaystyle KT = \frac{2}{3}TM = 2.$ Έστω K(x,y)

και $\displaystyle S(s,\sqrt {36 - {s^2}} ).$

: Από τόπο σε τόπο.png (11.13 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων KTN, OST

έχω $\displaystyle \frac{{s - x}}{s} = \frac{y}{{\sqrt {36 - {s^2}} }} = \frac{2}{6} \Rightarrow x = \frac{{2s}}{3},y = \frac{{\sqrt {36 - {s^2}} }}{3}$

$\displaystyle {x^2} + 4{y^2} = \frac{{4{s^2}}}{9} + \frac{{144 - 4{s^2}}}{9} = 16 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1}$ που είναι και η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου.

Προφανώς ο τόπος είναι έλλειψη με x,y>0,

άρα περιορίζεται στο τμήμα ανάμεσα στις ακτίνες

και

nickchalkida · #3

Για το βαρύκεντρο ... και στηριζόμενος στην ανάλυση του Γιώργου ότι ο τόπος του βαρυκέντρου είναι έλλειψη,
μια λίγο διαφορετική θεώρηση.

Έστω

η τομή της καθέτου από το βαρύκεντρο

επί της

με την

.
Είναι τότε $ON = {2 \over 3} OS$ , δηλσδή ο γ.τ. του σημείου

είναι ο κύκλος (O,4)

με παραμετρικές εξισώσεις

$\displaystyle{ \begin{aligned} x(t) &= 4 cos (t) \cr y(t) &= 4 sin (t) \cr \end{aligned} }$

Εύκολα όμως δικαιολογούμε από ομοιότητες ότι

$\displaystyle{ \begin{aligned} NK &= {1 \over 3} ST \ \ \ (1) \cr LK &= NL-NK = {2 \over 3} ST - {1 \over 3} ST = {1 \over 3} ST = NK \cr \end{aligned} }$

Δηλαδή ο γ.τ του

έχει παραμετρικές εξισώσεις

$\displaystyle{ \begin{aligned} x(t) &= 4 cos (t) \cr y(t) &= 2 sin (t) \cr \end{aligned} }$

δηλαδή είναι έλλειψη

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 01, 2021 7:55 pm
Από τόπο σε τόπο.pngΣημείο κινείται σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Φέρουμε $ST \perp OA$ . Βρείτε τις καρτεσιανές εξισώσεις

του γεωμετρικού τόπου του εγκέντρου και του γεωμετρικού τόπου του βαρυκέντρου , του τριγώνου .

Είναι $EL=EM=r,T(s,0),S(s,\sqrt{36-s^{2}}),E(x_{E}r),\hat{ETS}=135^{0}$ ,

To σημείο

είναι το εγκεντρο του τριγώνου OST

,

H περίμετρος του είναι $2\tau =6+r+\sqrt{36-r^{2}},0< s<6, ET ,y=-(x-s)\Leftrightarrow y+x=s\Rightarrow x_{E}+y_{E}=s,x_{E}=s-r,$ Θέτω $x=s-r,y=r,E(s-r,r)=E(x,y), (OST)=\tau .r\Rightarrow (s-r)^{2}(36-s^{2})=r.(6+r)^{2}\Leftrightarrow (s-r)^{2}(6-s)=r^{2}(6+s),(*)$

και με τις αντικαταστάσεις

$x^{2}(6-x-y)=y^{2}(6+x+y)\Leftrightarrow 6(x^{2}-y^{2})=(x+y)(x^{2}+y^{2}) \Leftrightarrow 6(x-y)=x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow (x-3)^{2}+(y+3)^{2}=18$

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος του εγκεντρου ειναι το τόξο του κύκλου (κόκκινου) που είναι μέσα στο

τεταρτοκύκλιο κέντρο και ακτίνα του κύκλου $K(3,-3),\rho =3\sqrt{2}$

Από τόπο σε τόπο

Από τόπο σε τόπο

Re: Από τόπο σε τόπο

Re: Από τόπο σε τόπο

Re: Από τόπο σε τόπο

Μέλη σε σύνδεση