Ώρα εφαπτομένης 97

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 97

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 25, 2021 7:46 pm

Ώρα εφαπτομένης  97.png
Ώρα εφαπτομένης 97.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
Στο - μεταβλητών πλευρών - ορθογώνιο τρίγωνο ABC , οι μεσοκάθετοι , της υποτείνουσας CB

και της διαμέσου CM τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : \tan\widehat{ABS} .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 97

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μαρ 25, 2021 11:16 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 7:46 pm
Ώρα εφαπτομένης 97.pngΣτο - μεταβλητών πλευρών - ορθογώνιο τρίγωνο ABC , οι μεσοκάθετοι , της υποτείνουσας CB

και της διαμέσου CM τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : \tan\widehat{ABS} .
Χρόνια πολλά σε όλους και ειδικά στους Βαγγέληδες


Οι γωνίες ίδιου χρώματος (NL//MB,CNLS εγγράψιμμο) είναι ίσες .

Επειδή  \angle  \phi + \theta = \angle  \omega θα είναι \angle NPB= \phi = \angle ACM (CPAN εγγράψιμμο)

tan \omega =tan( \phi + \theta )= \dfrac{tan \phi +tan \theta }{1-tan \phi tan \theta }= \dfrac{ \dfrac{c}{2b}+ \dfrac{b}{c}  }{1- \dfrac{c}{2b} \dfrac{b}{c}  }= \dfrac{c}{b}+ \dfrac{2b}{c} \geq  2\sqrt{2}

Άρα η ελάχιστη τιμή της  tan \omega είναι  2\sqrt{2} και πιάνεται όταν  \dfrac{c}{b}= \dfrac{2b}{c}  \Leftrightarrow   \dfrac{c}{b}= \sqrt{2}
ώρα εφαπτομένης 97.png
ώρα εφαπτομένης 97.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2102
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα εφαπτομένης 97

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Μαρ 26, 2021 8:20 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 7:46 pm
Ώρα εφαπτομένης 97.pngΣτο - μεταβλητών πλευρών - ορθογώνιο τρίγωνο ABC , οι μεσοκάθετοι , της υποτείνουσας CB

και της διαμέσου CM τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : \tan\widehat{ABS} .

Καλημέρα

Εστω \large \hat{SBC}=\sigma ,\hat{SCM}=\nu ,\hat{SBM}=\omega


Τότε

\large JL//AB,LM//AC,\sigma +90=\nu +\omega \Leftrightarrow \omega -\sigma =90-\nu ,

 tan(\omega -\sigma )=\dfrac{b}{c},(1),tan\sigma =\dfrac{c}{2b},(2), 

      (1),(2)\Rightarrow tan\omega =2x+\dfrac{1}{x}=y

,x=\dfrac{b}{c}, 2x^{2}-yx+1=0,D\geq 0\Rightarrow y_{min}=2\sqrt{2},x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
Συνημμένα
Ωρα εφαπτομένης 97.png
Ωρα εφαπτομένης 97.png (46.36 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 97

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 26, 2021 1:25 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 7:46 pm
Ώρα εφαπτομένης 97.pngΣτο - μεταβλητών πλευρών - ορθογώνιο τρίγωνο ABC , οι μεσοκάθετοι , της υποτείνουσας CB

και της διαμέσου CM τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : \tan\widehat{ABS} .
Λόγω των μεσοκαθέτων είναι \displaystyle SM = SC = SB, οπότε αν P είναι το μέσο του MB, τότε από τη σχέση

επίκεντρης-εγγεγραμμένης θα είναι \displaystyle M\widehat CB = \theta.
Ώρα εφαπτομένης.97.png
Ώρα εφαπτομένης.97.png (21.74 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
\displaystyle \tan \omega  = \cot \theta  = \cot \left( {A\widehat CB - A\widehat CM} \right) = \dfrac{{\dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{{2b}}{c} + 1}}{{\dfrac{{2b}}{c} - \dfrac{b}{c}}} = \frac{{2{b^2} + {c^2}}}{{bc}} \ge \frac{{2\sqrt 2 bc}}{{bc}} = 2\sqrt 2

Άρα, \boxed{{(\tan \omega )_{\min }} = 2\sqrt 2} όταν \boxed{c=b\sqrt 2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης