Παρεμβολή

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παρεμβολή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 14, 2021 7:48 am

Δείξτε - με κάθε πρόσφορο τρόπο - ότι για τις οξείες γωνίες \phi , \theta , με \phi < \theta ,

ισχύει : \tan\phi<\dfrac{\sin\phi+\sin\theta}{\cos\phi+\cos\theta} <\tan\theta



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παρεμβολή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 14, 2021 9:28 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 14, 2021 7:48 am
Δείξτε - με κάθε πρόσφορο τρόπο - ότι για τις οξείες γωνίες \phi , \theta , με \phi < \theta ,

ισχύει : \tan\phi<\dfrac{\sin\phi+\sin\theta}{\cos\phi+\cos\theta} <\tan\theta
Αρκεί να δείξω ότι \displaystyle \frac{{\sin \varphi }}{{\cos \varphi }} < \frac{{\sin \varphi  + \sin \theta }}{{\cos \varphi  + \cos \theta }} < \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}

Εκτελώντας τις πράξεις στο αριστερό σκέλος, αλλά και στο δεξί καταλήγω στην \displaystyle \sin (\varphi  - \theta ) < 0 που ισχύει.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παρεμβολή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 14, 2021 9:41 am

Αλλιώς. Επειδή η συνάρτηση ημίτονο είναι γνησίως αύξουσα και η συνημίτονο γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right), θα είναι:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
2\sin \varphi  < \sin \varphi  + \sin \theta  < 2\sin \theta \\ 
\\ 
\dfrac{1}{{2\cos \varphi }} < \dfrac{1}{{\cos \varphi  + \cos \theta }} < \dfrac{1}{{2\cos \theta }}  
\end{array} \right. απ' όπου με πολλαπλασιασμό κατά μέλη (είναι όλα θετικά) προκύπτει το ζητούμενο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παρεμβολή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 14, 2021 9:57 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 14, 2021 7:48 am
Δείξτε - με κάθε πρόσφορο τρόπο - ότι για τις οξείες γωνίες \phi , \theta , με \phi < \theta ,

ισχύει : \tan\phi<\dfrac{\sin\phi+\sin\theta}{\cos\phi+\cos\theta} <\tan\theta

Άμεσο από την συνεπαγωγή \displaystyle{\left ( \dfrac {a}{b}<\dfrac {c}{d} \right )\Rightarrow \left (\dfrac {a}{b}<\dfrac {a+c}{b+d}< \dfrac {c}{d}\right )} στους θετικούς, αρχίζοντας από την \displaystyle{\dfrac {\sin \phi}{\cos \phi }<\dfrac {\sin \theta }{\cos \theta}}.

Ουσιαστικά η παρουσία της Τριγωνομετρίας στην άσκηση είναι μικρή.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παρεμβολή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 14, 2021 10:08 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 14, 2021 7:48 am
Δείξτε - με κάθε πρόσφορο τρόπο - ότι για τις οξείες γωνίες \phi , \theta , με \phi < \theta ,

ισχύει : \tan\phi<\dfrac{\sin\phi+\sin\theta}{\cos\phi+\cos\theta} <\tan\theta
Αλλιώς, ώστε η παρουσία της Τριγωνομετρίας να είναι ουσιαστική.

Έχουμε \displaystyle{\dfrac{\sin\phi+\sin\theta}{\cos\phi+\cos\theta}= \dfrac{2\sin \frac {\phi+\theta }{2} \cos \frac {\phi -\theta }{2}}{2\cos \frac {\phi+\theta}{2} \cos \frac {\phi -\theta}{2}}=  \dfrac{\sin \frac {\phi+\theta }{2} }{\cos \frac {\phi+\theta }{2 }} = \tan \frac {\phi + \theta}{2}

Έτσι η αποδεικτέα είναι η άμεση \displaystyle{\tan\phi<\tan \frac {\phi+\theta }{2} <\tan\theta}.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Μαρ 14, 2021 10:12 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 250
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Παρεμβολή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Κυρ Μαρ 14, 2021 10:09 am

Καλημέρα!

Μια ακόμη προσέγγιση (ουσιαστικά παραπλήσια , αλλά με άλλα λόγια):

Έχω:

A=\dfrac{sin\varphi +sin\theta }{cos\varphi +cos\theta }=\dfrac{\dfrac{tan\varphi }{cos\theta }+\dfrac{tan\theta }{cos\varphi }}{\dfrac{1}{cos\theta }+\dfrac{1}{cos\varphi }}.

Συνεπώς , ο A κυρτός συνδυασμός των tan\varphi ,tan\theta και ,συνεπώς, βρίσκεται μεταξύ αυτών (με δεδομένο και το ότι 0^{\circ}< \varphi < \theta < 90^{\circ}).


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παρεμβολή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 15, 2021 10:15 am

Η άσκηση αυτή , όπως και αυτή υπήρχαν σε παλαιότερη έκδοση ( 2004 ) , της σχολικής Άλγεβρας Α' Λυκείου


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παρεμβολή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 15, 2021 10:41 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 15, 2021 10:15 am
Η άσκηση αυτή , όπως και αυτή υπήρχαν σε παλαιότερη έκδοση ( 2004 ) , της σχολικής Άλγεβρας Α' Λυκείου
Θανάση, πάάάάνε αυτά, ανεπιστρεπτί.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες