Μικροδιαφορά

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12544
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μικροδιαφορά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 13, 2021 10:20 am

Δείξτε - με κάθε πρόσφορο μέσο - ότι : \forall  n \in \mathbb{N} , με  n\geq 25 , ισχύει : \sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{10}

Αν βρείτε μία λύση , επιμείνατε : Θα βρείτε κι άλλες !



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μικροδιαφορά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 13, 2021 10:28 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 13, 2021 10:20 am
Δείξτε - με κάθε πρόσφορο μέσο - ότι : \forall  n \in \mathbb{N} , με  n\geq 25 , ισχύει : \sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{10}

Αν βρείτε μία λύση , επιμείνατε : Θα βρείτε κι άλλες !
\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}= \dfrac {1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \dfrac {1}{2\sqrt n } \le \dfrac {1}{2\cdot 5} =\dfrac{1}{10}}


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 152
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Μικροδιαφορά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Σάβ Μαρ 13, 2021 11:52 am

Ας είναι f(n)=\sqrt{n+1}-\sqrt n
Τότε f(n+1)<f(n)
\Leftrightarrow \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}<\sqrt{n+1}-\sqrt n
\Leftrightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt n<2\sqrt {n+1}
\Leftrightarrow 2n+2+2\sqrt{n(n+2)}<4n+4
\Leftrightarrow \sqrt{n(n+2)}<n+1
\Leftrightarrow n(n+2)<(n+1)^2 που ισχύει.
Έτσι αποδεικνύεται ότι f(n+k)<f(n) για κάθε k\in \mathbb{N}^*
Αλλά f(25)=\sqrt {26}-5<\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow \sqrt {26}<\dfrac{51}{10}\Leftrightarrow 26<\dfrac{2601}{100} το οποίο ισχύει
Επομένως f(25+k)<f(25)<\dfrac{1}{10} για κάθε k\in \mathbb{N}^*


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μικροδιαφορά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 13, 2021 12:06 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 13, 2021 10:20 am
Δείξτε - με κάθε πρόσφορο μέσο - ότι : \forall  n \in \mathbb{N} , με  n\geq 25 , ισχύει : \sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{10}

Αν βρείτε μία λύση , επιμείνατε : Θα βρείτε κι άλλες !
Για x\ge 25 έχουμε από ΘΜΤ στην f(x) = \sqrt {x+1} ότι \displaystyle{f(x+1)-f(x)= \dfrac {1}{2\sqrt \xi } (x+1-x) <  \dfrac {1}{2\sqrt x }\cdot 1 \le  \dfrac {1}{2\cdot 5 }= \dfrac {1}{10}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10455
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μικροδιαφορά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 13, 2021 12:31 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 13, 2021 10:20 am
Δείξτε - με κάθε πρόσφορο μέσο - ότι : \forall  n \in \mathbb{N} , με  n\geq 25 , ισχύει : \sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{10}

Αν βρείτε μία λύση , επιμείνατε : Θα βρείτε κι άλλες !
\displaystyle \sqrt n  \ge 5 > \frac{{99}}{{20}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt n }}{5} > \frac{{99}}{{100}} \Leftrightarrow n + \frac{{2\sqrt n }}{{10}} + \frac{1}{{100}} > n + \frac{{99}}{{100}} + \frac{1}{{100}} \Leftrightarrow

\displaystyle {\left( {\sqrt n  + \frac{1}{{10}}} \right)^2} > {(\sqrt {n + 1} )^2} και αφού οι βάσεις είναι θετικές, \boxed{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n  < \frac{1}{{10}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10455
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μικροδιαφορά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 13, 2021 1:09 pm

\displaystyle f(x) = \sqrt {x + 1}  - \sqrt x ,x \ge 25 με παράγωγο \displaystyle f'(x) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right) < 0.

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [25, + \infty), οπότε \displaystyle f(x) \le f(25) = \sqrt {26}  - 5, κλπ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μικροδιαφορά

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 13, 2021 2:41 pm

Από την \sqrt {1+a} < 1+ \dfrac {a}{2} για a>0 (άμεσο με ύψωση στο τετράγωνο) έχουμε για \ge 5 ότι

\displaystyle{\sqrt {x+1} - \sqrt x = \sqrt x \left ( \sqrt {1+ \dfrac {1}{x} } -1 \right ) <  \sqrt x \left (1+ \dfrac {1}{2x}  -1 \right )  = \dfrac {1}{2\sqrt x} \le \dfrac {1}{10}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μικροδιαφορά

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 13, 2021 7:00 pm

Επειδή η \sqrt {x+1}-\sqrt x είναι φθίνουσα (το είδαμε με διάφορους τρόπους παραπάνω) έχουμε για x\ge 25= 5^2 =\left ( \dfrac {100}{20}\right ) ^2>\left (  \dfrac {99}{20}\right )^2 ότι

\displaystyle{\sqrt {x+1}-\sqrt x < \sqrt { \left ( \dfrac {99}{20}\right )^2+1} -\sqrt {\left ( \dfrac {99}{20}\right )^2}  =  \sqrt {  \dfrac {99^2+20^2}{20^2}} - \dfrac {99}{20} =  \sqrt {  \dfrac {101^2}{20^2}} - \dfrac {99}{20}   = \dfrac {101}{20} - \dfrac {99}{20} = \dfrac {1}{10} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης