Μικροδιαφορά

KARKAR · #1

Δείξτε - με κάθε πρόσφορο μέσο - ότι : $\forall n \in \mathbb{N}$ , με $n\geq 25$ , ισχύει : $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{10}$

Αν βρείτε μία λύση , επιμείνατε : Θα βρείτε κι άλλες !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 13, 2021 10:20 am
Δείξτε - με κάθε πρόσφορο μέσο - ότι : $\forall n \in \mathbb{N}$ , με $n\geq 25$ , ισχύει : $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{10}$

Αν βρείτε μία λύση , επιμείνατε : Θα βρείτε κι άλλες !

$\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}= \dfrac {1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \dfrac {1}{2\sqrt n } \le \dfrac {1}{2\cdot 5} =\dfrac{1}{10}}$

Manolis Petrakis · #3

Ας είναι $f(n)=\sqrt{n+1}-\sqrt n$
Τότε f(n+1)<f(n)

$\Leftrightarrow \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}<\sqrt{n+1}-\sqrt n$
$\Leftrightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt n<2\sqrt {n+1}$
$\Leftrightarrow 2n+2+2\sqrt{n(n+2)}<4n+4$
$\Leftrightarrow \sqrt{n(n+2)}<n+1$
$\Leftrightarrow n(n+2)<(n+1)^2$ που ισχύει.
Έτσι αποδεικνύεται ότι f(n+k)<f(n)

για κάθε $k\in \mathbb{N}^*$
Αλλά $f(25)=\sqrt {26}-5<\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow \sqrt {26}<\dfrac{51}{10}\Leftrightarrow 26<\dfrac{2601}{100}$ το οποίο ισχύει
Επομένως $f(25+k)<f(25)<\dfrac{1}{10}$ για κάθε $k\in \mathbb{N}^*$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 13, 2021 10:20 am
Δείξτε - με κάθε πρόσφορο μέσο - ότι : $\forall n \in \mathbb{N}$ , με $n\geq 25$ , ισχύει : $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{10}$

Αν βρείτε μία λύση , επιμείνατε : Θα βρείτε κι άλλες !

Για $x\ge 25$ έχουμε από ΘΜΤ στην $f(x) = \sqrt {x+1}$ ότι $\displaystyle{f(x+1)-f(x)= \dfrac {1}{2\sqrt \xi } (x+1-x) < \dfrac {1}{2\sqrt x }\cdot 1 \le \dfrac {1}{2\cdot 5 }= \dfrac {1}{10}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 13, 2021 10:20 am
Δείξτε - με κάθε πρόσφορο μέσο - ότι : $\forall n \in \mathbb{N}$ , με $n\geq 25$ , ισχύει : $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{10}$

Αν βρείτε μία λύση , επιμείνατε : Θα βρείτε κι άλλες !

$\displaystyle \sqrt n \ge 5 > \frac{{99}}{{20}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt n }}{5} > \frac{{99}}{{100}} \Leftrightarrow n + \frac{{2\sqrt n }}{{10}} + \frac{1}{{100}} > n + \frac{{99}}{{100}} + \frac{1}{{100}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {\left( {\sqrt n + \frac{1}{{10}}} \right)^2} > {(\sqrt {n + 1} )^2}$ και αφού οι βάσεις είναι θετικές, $\boxed{\sqrt {n + 1} - \sqrt n < \frac{1}{{10}}}$

#6

$\displaystyle f(x) = \sqrt {x + 1} - \sqrt x ,x \ge 25$ με παράγωγο $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right) < 0.$

Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $[25, + \infty),$ οπότε $\displaystyle f(x) \le f(25) = \sqrt {26} - 5,$ κλπ.

#7

Από την $\sqrt {1+a} < 1+ \dfrac {a}{2}$ για a>0

(άμεσο με ύψωση στο τετράγωνο) έχουμε για $\ge 5$ ότι

$\displaystyle{\sqrt {x+1} - \sqrt x = \sqrt x \left ( \sqrt {1+ \dfrac {1}{x} } -1 \right ) < \sqrt x \left (1+ \dfrac {1}{2x} -1 \right ) = \dfrac {1}{2\sqrt x} \le \dfrac {1}{10}}$

#8

Επειδή η $\sqrt {x+1}-\sqrt x$ είναι φθίνουσα (το είδαμε με διάφορους τρόπους παραπάνω) έχουμε για $x\ge 25= 5^2 =\left ( \dfrac {100}{20}\right ) ^2>\left ( \dfrac {99}{20}\right )^2$ ότι

$\displaystyle{\sqrt {x+1}-\sqrt x < \sqrt { \left ( \dfrac {99}{20}\right )^2+1} -\sqrt {\left ( \dfrac {99}{20}\right )^2} = \sqrt { \dfrac {99^2+20^2}{20^2}} - \dfrac {99}{20} = \sqrt { \dfrac {101^2}{20^2}} - \dfrac {99}{20} = \dfrac {101}{20} - \dfrac {99}{20} = \dfrac {1}{10} }$

Μικροδιαφορά

Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Μέλη σε σύνδεση