Ελάχιστο γινομένου

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστο γινομένου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 18, 2021 8:04 am

Ελάχιστο  γινομένου.png
Ελάχιστο γινομένου.png (9.63 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
Τα A , B είναι σημεία των δύο πλευρών της γωνίας \hat{O} . Ευθεία , η οποία διέρχεται

από το μέσο M του τμήματος AB , τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία S,T .

Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του γινομένου : MS \cdot MT \blacktriangle



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστο γινομένου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 18, 2021 10:25 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 18, 2021 8:04 am
Ελάχιστο γινομένου.pngΤα A , B είναι σημεία των δύο πλευρών της γωνίας \hat{O} . Ευθεία , η οποία διέρχεται

από το μέσο M του τμήματος AB , τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία S,T .

Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του γινομένου : MS \cdot MT \blacktriangle
Φέρνω BN||OA και έστω D η προβολή του B στην OA. Θέτω SA=x. Προφανώς OB=5

και \displaystyle DM = BM = MA = \frac{{\sqrt {41} }}{2}. Επίσης BN=SA=x και MN=MS.
Ελάχιστο γινομένου.Κ.png
Ελάχιστο γινομένου.Κ.png (11.83 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
DM=MA, άρα από γνωστή άσκηση είναι \displaystyle M{D^2} = M{S^2} + DS \cdot SA \Leftrightarrow \boxed{4M{S^2} = 4{x^2} - 20x + 41} (1)

\displaystyle \frac{{TN}}{{TS}} = \frac{{BN}}{{OS}} \Leftrightarrow \frac{{TN}}{{TN + 2MS}} = \frac{x}{{8 - x}} \Leftrightarrow TN = \frac{{xMS}}{{4 - x}} \Leftrightarrow MS(TN + MS) = \frac{{4M{S^2}}}{{4 - x}} \Leftrightarrow

\displaystyle MS(TN + NM) = \frac{{4M{S^2}}}{{4 - x}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{MS \cdot MT = f(x) = \frac{{4{x^2} - 20x + 41}}{{4 - x}},0<x\ne 4}

Με τη βοήθεια παραγώγων, εύκολα τώρα βρίσκω \boxed {(MS \cdot MT)_{\min }} = 8} όταν \boxed{SA=x=\dfrac{3}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης