Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν

KARKAR · #1

: Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν.png (10.65 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Σχεδιάσαμε τετράγωνο ABCD

, με τα

στους ημιάξονες

και

αντίστοιχα και έτσι

ώστε (OA)+(OB)=d (=ct)

. Αν η

διέρχεται από το μέσο

της

, ενώ ο

τέμνει την

στο

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{CS}{SD}$ .

Manolis Petrakis · #2

Κατασκευάζουμε τετράγωνο ABCD

. Το ημικύκλιο με διάμετρο

τέμνει την

στο

, όπου

το μέσο της

.

: 20210212_223631.jpg (34.02 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου
Είναι από ΠΘ στο MBC

:
$CM=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\Rightarrow CO=CM-MO=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{\phi}$
Από γενικευμένο θεώρημα διχοτόμων στο BCM

είναι:
$\dfrac{CO}{MO}=\dfrac{BC}{BM}\cdot \dfrac{\sin \widehat{OBC}}{\sin \widehat{OBM}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{\phi}=2\tan \widehat{OBC}\Leftrightarrow \tan \widehat{OBC}=\dfrac{1}{\phi}$
$\Leftrightarrow \dfrac{SC}{BC}=\dfrac{1}{\phi}\Leftrightarrow \dfrac{SC}{CD}=\dfrac{1}{\phi}\Leftrightarrow \dfrac{SC}{CD-SC}=\dfrac{1}{\phi-1}$
$\Leftrightarrow \dfrac{SC}{SD}=\phi$
* $\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$

KARKAR · #3

: Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές

Συμπληρώνουμε στο σχήμα τα κάθετα προς τους άξονες τμήματα CEF , DFG

.

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(ABCD)}{(OEFG)}$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 13, 2021 8:13 am
Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν.pngΣυμπληρώνουμε στο σχήμα τα κάθετα προς τους άξονες τμήματα .

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(ABCD)}{(OEFG)}$ .

Έστω

η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου και

του μικρού. Επειδή οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες θα είναι

$\displaystyle ES = EO = x.$ Έχει ήδη αποδειχθεί πιο πάνω ότι $\displaystyle CS = \Phi SD \Leftrightarrow EC = \Phi x = FD$

: Το τετραγωνίζειν...png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές

Με Π. Θ στο CFD,

$\displaystyle {a^2} = {(x + \Phi x)^2} + {(\Phi x)^2} \Leftrightarrow {a^2} = {x^2}\left( {2{\Phi ^2} + 2\Phi + 1} \right) = 4\Phi + 3 = 5 + 2\sqrt 5$

Άρα, $\boxed{\dfrac{(ABCD)}{(OEFG)}=\dfrac{a^2}{x^2}=5+2\sqrt 5}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 12, 2021 9:59 pm
Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν.pngΣχεδιάσαμε τετράγωνο , με τα στους ημιάξονες και αντίστοιχα και έτσι

ώστε . Αν η διέρχεται από το μέσο της , ενώ ο

τέμνει την στο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{CS}{SD}$ .

: το τετραγωνίζειν εστί.png (15.99 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές

Επί της ουσίας δεν έχει σημασία αν το άθροισμα OA + OB

είναι σταθερό ,αλλά το

ότι η διάμεσος προς την υποτείνουσα

στο ορθογώνιο $\vartriangle OAB$ διέρχεται από την κορυφή

του τετραγώνου.

Ας πούμε λοιπόν π.χ. ότι η πλευρά του τετραγώνου έχει μήκος

.

Τα τρίγωνα $MBO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CSO$ είναι όμοια άρα και το $\vartriangle CSO$ είναι ισοσκελές με $\boxed{CS = CO = x}$ . Θέτω ακόμα $\boxed{SD = y}$ .

Από το ορθογώνιο $\vartriangle BCM$ έχω: $MC = \sqrt 5 \Rightarrow x = \sqrt 5 - 1 \Rightarrow y = 2 - \left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 3 - \sqrt 5$

Έτσι: $\boxed{\frac{x}{y} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{3 - \sqrt 5 }} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$

Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Re: Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Re: Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Re: Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Re: Το τετραγωνίζειν εστί φιλοσοφείν

Μέλη σε σύνδεση