Νέο ρομβολόγιο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12521
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Νέο ρομβολόγιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 12, 2021 2:30 pm

Νέο  ρομβολόγιο.png
Νέο ρομβολόγιο.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές
Ο ρόμβος ABCD έχει σταθερή την διαγώνιο AC και μεταβλητή την BD . Η κάθετη από το C

προς την AD , τέμνει την προέκταση της BA στο σημείο S . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του S .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13319
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Νέο ρομβολόγιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 12, 2021 5:30 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 12, 2021 2:30 pm
Νέο ρομβολόγιο.pngΟ ρόμβος ABCD έχει σταθερή την διαγώνιο AC και μεταβλητή την BD . Η κάθετη από το C

προς την AD , τέμνει την προέκταση της BA στο σημείο S . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του S .
Χωρίς βλάβη έχουμε συντεταγμένες A(1,0),\,C(-1,0) και για μεταβλητό a, είναι B(0,a),\, D(0,-a). Οι εξισώσεις των AB, CS, οι οποίες έχουν γωνστή κλίση και διέρχονται από γνωστό σημείο, εύκολα βλέπουμε ότι ειναι

 y=-a(x+1),\, y=-\frac {1}{a}(x+1).

Λύνοντας το σύστημα είναι \displaystyle{x= \dfrac {a^2+1}{a^2-1},\, y =- \dfrac {2a}{a^2-1}}.

Άρα \displaystyle{x-y=\dfrac {a^2+2a+1}{a^2-1}= \dfrac {a+1}{a-1}} και όμοια \displaystyle{x+y=\dfrac {a-1}{a+1}}. Πολλαπλασιάζοντας, \boxed{x^2-y^2=1}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Νέο ρομβολόγιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 12, 2021 5:42 pm

Με πρόλαβε ο Μιχάλης, αλλά μου έμεινε το σχήμα.
Ρομβολόγιο.png
Ρομβολόγιο.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Είναι A(a,0), B(0,b), S(x,y) και ο γεωμετρικός τόπος είναι ισοσκελής υπερβολή με εξίσωση \boxed{x^2-y^2=a^2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Νέο ρομβολόγιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 12, 2021 6:36 pm

Και μία με ομοιότητα. Από τα όμοια τρίγωνα BOA, STA και BOA, CTS έχω:
Ρομβολόγιο.β.png
Ρομβολόγιο.β.png (15.01 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{y}{b} = \dfrac{{x - a}}{a}\\ 
\\ 
\dfrac{b}{a} = \dfrac{{a + x}}{y} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \otimes  \frac{y}{a} = \frac{{{x^2} - {a^2}}}{{ay}} \Leftrightarrow \boxed{x^2-y^2=a^2}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12521
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Νέο ρομβολόγιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 12, 2021 7:02 pm

Νέο  ρομβολόγιο.png
Νέο ρομβολόγιο.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Αφού ευχαριστήσω τους φίλους για τις γρήγορες και μεστές απαντήσεις , επιτρέψτε μου μια γενική παρατήρηση :

Σχεδόν όλοι μας όταν λύνουμε ένα θέμα γεωμετρικού τόπου , παραλείπουμε να διερευνήσουμε , αν η εξίσωση

του σημειοσυνόλου που βρίσκουμε , περιέχει όλα τα σημεία του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου .

Μπορεί δηλαδή το σημείο S να βρεθεί σε κάθε θέση της κόκκινης ( δίκλαδης ) καμπύλης ;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13319
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Νέο ρομβολόγιο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 13, 2021 10:35 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 12, 2021 7:02 pm
Σχεδόν όλοι μας όταν λύνουμε ένα θέμα γεωμετρικού τόπου , παραλείπουμε να διερευνήσουμε , αν η εξίσωση

του σημειοσυνόλου που βρίσκουμε , περιέχει όλα τα σημεία του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου .

Μπορεί δηλαδή το σημείο S να βρεθεί σε κάθε θέση της κόκκινης ( δίκλαδης ) καμπύλης ;
Σωστά. Ας το δούμε στην προκείμενη περίπτωση.

Από την κατασκευή, το S είναι στο τέταρτο τεταρτημόριο οπότε μόνο σημεία στο "κάτω δεξιά" τμήμα της υπορβολής είναι στον ζητούμενο τόπο. Αντίστροφα, αν S σημείο της υπερβολής στο κάτω δεξιό τμήμα της, φέρνουμε την SA. Εκεί που τέμνει τον άξονα των y είναι η κορυφή του B του ρόμβου, και η D ειναι το συμμετρικό του. Επειδή η κάθετος από το C στην AD τέμνει την SA σε ένα μόνο σημείο και από το ευθύ ξέρουμε ότι είναι σημείο της υπερβολής, σημαίνει ότι το εν λόγω σημείο είναι το S. Έτσι δείξαμε ότι όλα τα σημεία της υπερβολής στο κάτω δεξιά τμήμα της, και μόνον αυτά, είναι σημεία του τόπου.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Νέο ρομβολόγιο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 13, 2021 1:59 pm

Ας αλλάξουμε λίγο την εκφώνηση. Ο ρόμβος ABCD έχει σταθερή την διαγώνιο AC και μεταβλητή

την BD . Η κάθετη από το C προς την ευθεία AD , τέμνει την ευθεία AB στο σημείο S.
Ρομβολόγιο.γ.png
Ρομβολόγιο.γ.png (18.35 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
Τώρα το S διαγράφει και τους δύο κλάδους της υπερβολής;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες