Μέγιστη χορδή

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12627
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη χορδή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 25, 2021 9:10 pm

Μέγιστη χορδή.png
Μέγιστη χορδή.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Κύκλος με κέντρο K , το οποίο κινείται στον ημιάξονα Ox , εφάπτεται του τμήματος AB .

Φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα OP , OQ . Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος PQ .

Δώστε αριθμητικό παράδειγμα .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7974
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστη χορδή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 26, 2021 1:13 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 25, 2021 9:10 pm
Μέγιστη χορδή.pngΚύκλος με κέντρο K , το οποίο κινείται στον ημιάξονα Ox , εφάπτεται του τμήματος AB .

Φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα OP , OQ . Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος PQ .

Δώστε αριθμητικό παράδειγμα .
Μέγιστη χορδή_new_1.png
Μέγιστη χορδή_new_1.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
Ας είναι K(k,0)\,\,. Η ευθεία AB έχει εξίσωση : AB \to bx + ay - ab = 0 .

Η ακτίνα του κύκλου είναι \boxed{R = d(K,AB) = \frac{{|bk - ab|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{b(a - k)}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\,\,\left( 1 \right) .

Η εξίσωση του κύκλου είναι : {\left( {x - k} \right)^2} + {y^2} = {R^2} και η πολική, PQ της αρχής ως προς αυτόν έχει εξίσωση :

 - k\left( {x - k} \right) = {R^2} \Rightarrow \boxed{{x_D} = OD = k - \frac{{{R^2}}}{k}} και άρα \boxed{OK = \frac{{{R^2}}}{k}}

Αν θέσω y = \dfrac{{PQ}}{2} θα έχω και λόγω της \left( 1 \right):

\boxed{f(k) = {y^2} = OD \cdot DK = \left( {k - \frac{{{b^2}{{\left( {a - k} \right)}^2}}}{{k\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \right)\frac{{{b^2}{{\left( {a - k} \right)}^2}}}{{k\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}}

και προσδιορίζω, με παραγώγους, το k για να έχω μέγιστο και το μέγιστο μετά.

π.χ. αν a = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 3 προκύπτει : \boxed{k = \sqrt[3]{{\frac{{15\sqrt {129} }}{8} + \frac{{1341}}{{64}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{15\sqrt {129} }}{8} - \frac{{1341}}{{64}}}} - \frac{3}{4}}

και P{Q_{\max }} \simeq 1,921943882.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες