Μέγιστο εμβαδόν 39

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν 39

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 24, 2021 9:14 pm

Μέγιστο  εμβαδόν 39.png
Μέγιστο εμβαδόν 39.png (10.3 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές
Από σημείο S , το οποίο κινείται επί της BC , φέρω κάθετες προς τις διαγωνίους του παραλληλογράμμου .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου SPKT . Σημ. : Οφείλετε να βρείτε και την θέση του S .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 39

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιαν 24, 2021 11:47 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 24, 2021 9:14 pm
Μέγιστο εμβαδόν 39.pngΑπό σημείο S , το οποίο κινείται επί της BC , φέρω κάθετες προς τις διαγωνίους του παραλληλογράμμου .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου SPKT . Σημ. : Οφείλετε να βρείτε και την θέση του S .
Άρση απόκρυψης και λύση

Από ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABC έχουμε \angle BCA=45^0 και με CS=x έχουμε (PCS)= \dfrac{x^2}{4}

Επειδή tan \theta = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} ,με ST=y θα είναι BT=2y και με Π.Θ  y^2= \dfrac{(x-6)^2}{5}=(TSB)

Είναι λοιπόν f(x)=(CPS)+(BTS)= \dfrac{(x-6)^2}{5}+ \dfrac{x^2}{4}= \dfrac{3}{20}(3x^2-16x+48)

Ισχύει  (CKB)=6 άρα το ζητούμενο εμβαδόν παίρνει την μέγιστη τιμή του όταν η f πάρει την ελάχιστη τιμή της

Αυτό όμως συμβαίνει όταν x= \dfrac{8}{3} με ελάχιστη τιμή f( \dfrac{8}{3} )=4 .Άρα (PSTK)_{max} =6-4=2

(Απ ότι βλέπω ,έχουμε ίδια λύση με το φίλο Γιώργο Βισβίκη)
μέγιστο εμβαδόν 39.png
μέγιστο εμβαδόν 39.png (29.07 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Δευ Ιαν 25, 2021 11:21 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν 39

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 25, 2021 10:51 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 24, 2021 9:14 pm
Μέγιστο εμβαδόν 39.pngΑπό σημείο S , το οποίο κινείται επί της BC , φέρω κάθετες προς τις διαγωνίους του παραλληλογράμμου .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου SPKT . Σημ. : Οφείλετε να βρείτε και την θέση του S .
Θέτω CS=x, ST=h και εύκολα βρίσκω τις γωνίες των 45^\circ στο σχήμα. Εξάλλου,

\displaystyle \tan \theta  = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow TB = 2h και \displaystyle \sin \theta  = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{h}{{6 - x}} \Leftrightarrow {h^2} = \frac{{{{(6 - x)}^2}}}{5}
Μέγιστο εμβαδόν 39.png
Μέγιστο εμβαδόν 39.png (17.05 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές
\displaystyle (SPKT) = (KBC) - [(SPC) + (STB)] = 6 - \left( {\frac{{{x^2}}}{4} + {h^2}} \right)

Θα βρω την ελάχιστη τιμή του \displaystyle f(x) = \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{{(6 - x)}^2}}}{5} = \frac{1}{{20}}\left( {9{x^2} - 48x + 144} \right) που ως τριώνυμο

παρουσιάζει για \boxed{x=\frac{8}{3}} ελάχιστο ίσο με \boxed{f\left( {\frac{8}{3}} \right) = 4} Άρα, \boxed{{(SPKT)_{\max }} = 2}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 39

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 25, 2021 8:29 pm

Ανάλυση
Μέγιστο εμβαδόν 39_Ανάλυση.png
Μέγιστο εμβαδόν 39_Ανάλυση.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Επί της ουσίας έχουμε ένα σταθερό τρίγωνο KBC, ένα κινούμενο σημείο, S στην BC και τις προβολές του P\,,\,T στις δύο άλλες πλευρές .

Ζητούμε τη θέση του S για να μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του τετράπλευρου KTSP.

(Το μέγιστο αυτό εμβαδόν συνήθως μετά τον εντοπισμό του S είναι απλοί υπολογισμοί)

Μετασχηματίζω το τετράπλευρο σε ισοδύναμο τρίγωνο .

Προς τούτο από το σταθερό K φέρνω παράλληλη στην μεταβλητή TP κι έστω L η τομή της με την ST. \boxed{\left( {KTSP} \right) = \left( {LSP} \right)}.

Το \vartriangle LSP αποτελείται από δύο τρίγωνα : \vartriangle LTP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle STP με κοινή την TP

Άρα το εμβαδόν τους γίνεται μέγιστο όταν το άθροισμα των υψών τους, KP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SG προς την TP, γίνει μέγιστο .

Δηλαδή όταν η απόσταση του S προς την KL γίνει μέγιστη , δηλαδή όταν : \boxed{KL//TP//BC}.

Κατασκευή
Μέγιαστο εμβαδόν 39_Κατασκευή.png
Μέγιαστο εμβαδόν 39_Κατασκευή.png (22.28 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Φέρνω από το K ευθεία, μέσα στο \vartriangle KBC που να σχηματίζει με την KB γωνία ίση με τη \widehat {{C_{}}} και τέμνει την BC στο S.

Υπολογίζονται : \boxed{{{\left( {KTSP} \right)}_{\max }} = 2\,}, \boxed{BS = \frac{{10}}{3}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες