Ευκλείδης και Καρτέσιος

KARKAR · #1

: Ευκλείδης και Καρτέσιος.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές

Στην πλευρά

του $8\times 6$ ορθογωνίου OABC

κινείται σημείο

. Η κάθετη προς την

στο

, τέμνει την

στο σημείο

, ενώ η παράλληλη προς την

, τέμνει την

στο

.

Να βρεθεί εκείνη η θέση του

, για την οποία προκύπτει : (OSP)=5

.

#2

Θανάση, εκ μέρους του Καρτέσιου: Σε ευχαριστεί για την τιμή, αλλά εκτιμά ότι μπορεί ο Mahommed ben Musa al-Khwarizmi να βοηθήσει τον Ευκλείδη αντ' αυτού.(*)

: 24-01-2021 Γεωμετρία.png (19.32 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Έστω

$\displaystyle \left( {OSP} \right) = \left( {ODS} \right) - \left( {OPD} \right) \Leftrightarrow 5 = 3a - \frac{{ac}}{2} \Leftrightarrow 10 = 6a - ac$ (1)

Από τις ομοιότητες των OTA, POD

και

έχουμε

$\displaystyle \frac{{PD}}{{AT}} = \frac{{OD}}{{OA}} \Leftrightarrow \frac{c}{{6 - b}} = \frac{a}{8}$ (2) και $\displaystyle \frac{{CS}}{{BT}} = \frac{{CO}}{{SB}} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{6}{{8 - a}}$ (3)

Aπό το σύστημα των (1), (2), (3) προκύπτουν δύο δεκτές ρίζες. Η a=2

και μία ακόμα περίπου a= 7,25

.

(*)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

edit: Συμπλήρωσα τη 2η ρίζα. Με ακρίβεια δεν μπορώ να την προσδιορίσω! Χρειάζεται να βοηθήσουν και οι Cardano, Ferro. Ας ξανακαλέσουμε για βοήθεια τον Καρτέσιο!

#3

Καλησπέρα!

: Ευκλείδης-Καρτέσιος.png (12.28 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

Με διαφορετικό τρόπο βρήκα τις ίδιες ρίζες καταλήγοντας στην εξίσωση: $\displaystyle {a^4} - 8{a^3} + 36{a^2} - 288a + 480 = 0$

που έχει πραγματικές ρίζες $\boxed{a=2}$ ή $\boxed{a = 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt[3]{{13 + \sqrt {170} }}}} + \sqrt[3]{{13 + \sqrt {170} }}} \right)\simeq 7.25313}$

Για a=2

το τρίγωνο SOT

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Συνοπτικά η λύση μου:

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle (OSP) = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ a&6 \end{array}} \right| = 5 \Leftrightarrow$ $\boxed{b = \frac{{6a - 10}}{a}}$ (1)

$\displaystyle \bullet$ Π.Θ στο SOT:

$\displaystyle 2{a^2} - 16a + 72 - \frac{{96b}}{a} = 0\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{{a^4} - 8{a^3} + 36{a^2} - 288a + 480 = 0}$

Η ακέραιη λύση με Horner, η άλλη με λογισμικό.

#4

Αν μου επιτρέπει ο Θανάσης, ένα επιπλέον ερώτημα:

: Ευκλείδης-Καρτέσιος.β.png (11.55 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Με τις προδιαγραφές της αρχικής άσκησης, να βρείτε συναρτήσει του CS=x

το εμβαδόν του τριγώνου OSP

και να

δείξετε ότι η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει ολικό μέγιστο (μπορείτε προαιρετικά να το βρείτε χρησιμοποιώντας λογισμικό).

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 24, 2021 7:47 pm
Αν μου επιτρέπει ο Θανάσης, ένα επιπλέον ερώτημα: Ευκλείδης-Καρτέσιος.β.png
Με τις προδιαγραφές της αρχικής άσκησης, να βρείτε συναρτήσει του το εμβαδόν του τριγώνου και να

δείξετε ότι η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει ολικό μέγιστο (μπορείτε προαιρετικά να το βρείτε χρησιμοποιώντας λογισμικό).

Ας είναι : $SC = x \in \left( {0,8} \right)\,\,,\,\,SP = y \in \left( {0,6} \right),\,\,BT = z \in \left( {0,6} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {SOP} \right) = E$ θα έχω ταυτόχρονα: $\left\{ \begin{gathered} 2E = xy\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ \frac{6}{x} = \frac{{8 - x}}{z}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \frac{{6 - y}}{{y - z}} = \frac{x}{{8 - x}}\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Η $\left( 1 \right)$ από το εμβαδόν

, η $\left( 2 \right)$ από την ομοιότητα των $\vartriangle COS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BST$ ενώ η $\left( 3 \right)$ από το τραπέζιο COTB

.

: Ευκλείδης και Καρτέσιος_Γενικά.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Απ αυτές βρίσκω: $\boxed{2E = f(x) = - \frac{1}{{48}}x\left( {{x^3} - 8{x^2} + + 36x - 288} \right)}$ με παράγωγο

$\boxed{f'\left( x \right) = - \frac{1}{{12}}\left( {{x^3} - 6{x^2} + 18x - 72} \right)}$

που αβίαστα προκύπτει ότι είναι γνήσια φθίνουσα με μια μόνο πραγματική ρίζα

${x_0} = 2 + \sqrt[3]{{6\sqrt {19} + 26}} - \sqrt[3]{{6\sqrt {19} - 26}} \simeq 5,200871261$ ,

η δε συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα $\left( {0,{x_0}} \right)$ και γνήσια

φθίνουσα στο $\left( {{x_0},8} \right)$ , συνεπώς παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο ${x_0}$ και είναι

$\boxed{{E_{\max }} = \frac{1}{2}f\left( {{x_0}} \right) \simeq 9,56107247}$ .

: kart_Eukleid.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

KARKAR · #6

Όταν σκαρφίστηκα το θέμα , κι εγώ το μέγιστο αναζητούσα . Θεώρησα όμως ότι ήταν καιρός για μια

πιο ανθρώπινη διατύπωση κι έτσι ζήτησα την συγκεκριμένη τιμή του εμβαδού . Ατυχώς δεν "είδα"

την άλλη τιμή του

κι έτσι προέκυψε και η ανεπιθύμητη δεύτερη .

Ευτυχώς βρέθηκε ο Γιώργος και ανέλαβε την "βρώμικη" δουλειά

Νίκο , να' σαι καλά !

Ευκλείδης και Καρτέσιος

Ευκλείδης και Καρτέσιος

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

Μέλη σε σύνδεση