Ευκλείδης και Καρτέσιος

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12313
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ευκλείδης και Καρτέσιος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 24, 2021 2:22 pm

Ευκλείδης  και  Καρτέσιος.png
Ευκλείδης και Καρτέσιος.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
Στην πλευρά BC του 8\times 6 ορθογωνίου OABC κινείται σημείο S . Η κάθετη προς την OS

στο S , τέμνει την AB στο σημείο T , ενώ η παράλληλη προς την CO , τέμνει την OT στο P.

Να βρεθεί εκείνη η θέση του S , για την οποία προκύπτει : (OSP)=5 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4813
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιαν 24, 2021 5:01 pm

Θανάση, εκ μέρους του Καρτέσιου: Σε ευχαριστεί για την τιμή, αλλά εκτιμά ότι μπορεί ο Mahommed ben Musa al-Khwarizmi να βοηθήσει τον Ευκλείδη αντ' αυτού.(*)

24-01-2021 Γεωμετρία.png
24-01-2021 Γεωμετρία.png (19.32 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Έστω CS=a, 0<a<8,  BT=b, 0<b<6,  PD = c, 0<c<6

 \displaystyle \left( {OSP} \right) = \left( {ODS} \right) - \left( {OPD} \right) \Leftrightarrow 5 = 3a - \frac{{ac}}{2} \Leftrightarrow 10 = 6a - ac (1)

Από τις ομοιότητες των OTA, POD και SOC, BST έχουμε

 \displaystyle \frac{{PD}}{{AT}} = \frac{{OD}}{{OA}} \Leftrightarrow \frac{c}{{6 - b}} = \frac{a}{8} (2) και  \displaystyle \frac{{CS}}{{BT}} = \frac{{CO}}{{SB}} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{6}{{8 - a}} (3)

Aπό το σύστημα των (1), (2), (3) προκύπτουν δύο δεκτές ρίζες. Η a=2 και μία ακόμα περίπου a= 7,25.

(*)
Η αλήθεια είναι ότι βοήθησε και ένας κύριος William George Horner ή Theophilus Holdred. Ποιος στ' αλήθεια δεν το ξέρω!

edit: Συμπλήρωσα τη 2η ρίζα. Με ακρίβεια δεν μπορώ να την προσδιορίσω! Χρειάζεται να βοηθήσουν και οι Cardano, Ferro. Ας ξανακαλέσουμε για βοήθεια τον Καρτέσιο!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10169
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 24, 2021 6:13 pm

Καλησπέρα!
Ευκλείδης-Καρτέσιος.png
Ευκλείδης-Καρτέσιος.png (12.28 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
Με διαφορετικό τρόπο βρήκα τις ίδιες ρίζες καταλήγοντας στην εξίσωση: \displaystyle {a^4} - 8{a^3} + 36{a^2} - 288a + 480 = 0

που έχει πραγματικές ρίζες \boxed{a=2} ή \boxed{a = 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt[3]{{13 + \sqrt {170} }}}} + \sqrt[3]{{13 + \sqrt {170} }}} \right)\simeq 7.25313}

Για a=2 το τρίγωνο SOT είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Συνοπτικά η λύση μου:

\displaystyle  \bullet \displaystyle (OSP) = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
a&b\\ 
a&6 
\end{array}} \right| = 5 \Leftrightarrow \boxed{b = \frac{{6a - 10}}{a}} (1)

\displaystyle  \bullet Π.Θ στο SOT: \displaystyle 2{a^2} - 16a + 72 - \frac{{96b}}{a} = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{{a^4} - 8{a^3} + 36{a^2} - 288a + 480 = 0}

Η ακέραιη λύση με Horner, η άλλη με λογισμικό.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10169
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 24, 2021 7:47 pm

Αν μου επιτρέπει ο Θανάσης, ένα επιπλέον ερώτημα:
Ευκλείδης-Καρτέσιος.β.png
Ευκλείδης-Καρτέσιος.β.png (11.55 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές
Με τις προδιαγραφές της αρχικής άσκησης, να βρείτε συναρτήσει του CS=x το εμβαδόν του τριγώνου OSP και να

δείξετε ότι η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει ολικό μέγιστο (μπορείτε προαιρετικά να το βρείτε χρησιμοποιώντας λογισμικό).


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7788
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 26, 2021 12:16 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιαν 24, 2021 7:47 pm
Αν μου επιτρέπει ο Θανάσης, ένα επιπλέον ερώτημα: Ευκλείδης-Καρτέσιος.β.png
Με τις προδιαγραφές της αρχικής άσκησης, να βρείτε συναρτήσει του CS=x το εμβαδόν του τριγώνου OSP και να

δείξετε ότι η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει ολικό μέγιστο (μπορείτε προαιρετικά να το βρείτε χρησιμοποιώντας λογισμικό).
Ας είναι : SC = x \in \left( {0,8} \right)\,\,,\,\,SP = y \in \left( {0,6} \right),\,\,BT = z \in \left( {0,6} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {SOP} \right) = E θα έχω ταυτόχρονα: \left\{ \begin{gathered} 
  2E = xy\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 
  \frac{6}{x} = \frac{{8 - x}}{z}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ 
  \frac{{6 - y}}{{y - z}} = \frac{x}{{8 - x}}\,\,\left( 3 \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Η \left( 1 \right) από το εμβαδόν E, η \left( 2 \right) από την ομοιότητα των \vartriangle COS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BST ενώ η \left( 3 \right) από το τραπέζιο COTB.
Ευκλείδης και Καρτέσιος_Γενικά.png
Ευκλείδης και Καρτέσιος_Γενικά.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές
Απ αυτές βρίσκω: \boxed{2E = f(x) =  - \frac{1}{{48}}x\left( {{x^3} - 8{x^2} +  + 36x - 288} \right)} με παράγωγο

\boxed{f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{12}}\left( {{x^3} - 6{x^2} + 18x - 72} \right)}

που αβίαστα προκύπτει ότι είναι γνήσια φθίνουσα με μια μόνο πραγματική ρίζα

{x_0} = 2 + \sqrt[3]{{6\sqrt {19}  + 26}} - \sqrt[3]{{6\sqrt {19}  - 26}} \simeq 5,200871261,

η δε συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα \left( {0,{x_0}} \right) και γνήσια

φθίνουσα στο \left( {{x_0},8} \right) , συνεπώς παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο {x_0} και είναι

\boxed{{E_{\max }} = \frac{1}{2}f\left( {{x_0}} \right) \simeq 9,56107247} .
kart_Eukleid.png
kart_Eukleid.png (11.34 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12313
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ευκλείδης και Καρτέσιος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 26, 2021 12:36 pm

Όταν σκαρφίστηκα το θέμα , κι εγώ το μέγιστο αναζητούσα . Θεώρησα όμως ότι ήταν καιρός για μια

πιο ανθρώπινη διατύπωση κι έτσι ζήτησα την συγκεκριμένη τιμή του εμβαδού . Ατυχώς δεν "είδα"

την άλλη τιμή του a κι έτσι προέκυψε και η ανεπιθύμητη δεύτερη .

Ευτυχώς βρέθηκε ο Γιώργος και ανέλαβε την "βρώμικη" δουλειά :lol: Νίκο , να' σαι καλά !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες