Μέγιστη διαφορά τετραγώνων

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12348
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη διαφορά τετραγώνων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 20, 2021 9:15 pm

Διαφορά  τετραγώνων.png
Διαφορά τετραγώνων.png (11.05 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές
Το S κινείται στον κύκλο . Υπολογίστε το μέγιστο της διαφοράς : SA^2-SB^2 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4817
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστη διαφορά τετραγώνων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιαν 20, 2021 9:40 pm

Καλησπέρα σε όλους.


Έστω SK κάθετη στην AB. Τότε η διαφορά SA^2 - SB^2 ισούται με τη διαφορά K{A^2} - K{B^2} = \left( {KA - KB} \right) \cdot AB
(AB=2r σταθερό).

Το μέγιστο της διαφοράς KA – KB προκύπτει όταν το S είναι στο “ανατολικότερο” σημείου του κύκλου, δηλαδή όταν OK = SK = r/2.

Τότε η μέγιστη τιμή της διαφοράς S{A^2} - S{B^2} είναι S{A^2} - S{B^2}_{\max } = 2{r^2}.
Συνημμένα
20-01-2021 Γεωμετρία.png
20-01-2021 Γεωμετρία.png (19.94 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10206
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη διαφορά τετραγώνων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 21, 2021 8:57 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 9:15 pm
Διαφορά τετραγώνων.pngΤο S κινείται στον κύκλο . Υπολογίστε το μέγιστο της διαφοράς : SA^2-SB^2 .
Καλημέρα!

Ελάχιστα διαφορετικά απ' τον Γιώργο. Έστω K, E οι προβολές του S στις AB, MO αντίστοιχα.
Μ.Δ τετραγώνων.png
Μ.Δ τετραγώνων.png (15.9 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές
\displaystyle S{A^2} - S{B^2} = 4r(OK) = 4r(SE) \le 4r(MS) \Leftrightarrow S{A^2} - S{B^2} \le 2{r^2}.

Άρα, \boxed{{(S{A^2} - S{B^2})_{\max }} = 2{r^2}} όταν \boxed{MS||AB}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12348
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστη διαφορά τετραγώνων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 21, 2021 10:03 am

Μην τρομάξετε ! Θα μπορούσατε να βρείτε την μέγιστη τιμή της διαφοράς : SA-SB ;


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4817
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστη διαφορά τετραγώνων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 23, 2021 11:48 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 21, 2021 10:03 am
Μην τρομάξετε ! Θα μπορούσατε να βρείτε την μέγιστη τιμή της διαφοράς : SA-SB ;
Και γιατί να τρομάξουμε; Ας είναι καλά η Geogebra.

23-01-2021 Γεωμετρία b.png
23-01-2021 Γεωμετρία b.png (19.55 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

Έστω O(0,0), A(-r,0), B(r,0) και το ημικύκλιο  \displaystyle C:\;\;{x^2} + {\left( {y - \frac{r}{2}} \right)^2} = \frac{{{r^2}}}{4},\;\;0 \le x \le \frac{r}{2},\;\;0 \le y \le r .

Έστω A(a,b), 0 \le b \le r, 0 \le a \le r/2, σημείο του C.

Περιορίσαμε το S στο δεξιό ημικύκλιο γιατί αν a<0 είναι SA < SB.

Ισχύει  \displaystyle {a^2} + {b^2} - br = 0 , άρα είναι  \displaystyle b = \frac{{r \pm \sqrt {{r^2} - 4{a^2}} }}{2} \Rightarrow {b^2} = \frac{{{r^2} - 2{a^2} \pm r\sqrt {{r^2} - 4{a^2}} }}{2}

 \displaystyle SA - SB = \sqrt {{{\left( {a + r} \right)}^2} + {b^2}}  - \sqrt {{{\left( {a - r} \right)}^2} + {b^2}}

 \displaystyle  = \sqrt {{{\left( {a + r} \right)}^2} + \frac{{{r^2} - 2{a^2} \pm r\sqrt {{r^2} - 4{a^2}} }}{2}}  - \sqrt {{{\left( {a - r} \right)}^2} + \frac{{{r^2} - 2{a^2} \pm r\sqrt {{r^2} - 4{a^2}} }}{2}}

 \displaystyle  = \sqrt {\frac{{3{r^2} + 4ar \pm r\sqrt {{r^2} - 4{a^2}} }}{2}}  - \sqrt {\frac{{3{r^2} - 4ar \pm r\sqrt {{r^2} - 4{a^2}} }}{2}}

Για να το απλοποιήσω θέτω r=1.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Από εδώ και κάτω γίνεται υπερβολική χρήση λογισμικού

H συνάρτηση  \displaystyle f\left( a \right) = \sqrt {\frac{{3 + 4a - \sqrt {1 - 4{a^2}} }}{2}}  - \sqrt {\frac{{3 - 4a - \sqrt {1 - 4{a^2}} }}{2}} ,\;\;a \in \left[ {0,\;\frac{1}{2}} \right]

έχει μέγιστο για  \displaystyle a \cong 0,49088 , με τιμή περίπου 0,894427

23-01-2021 Γεωμετρία.png
23-01-2021 Γεωμετρία.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

Η συνάρτηση  \displaystyle g\left( a \right) = \sqrt {\frac{{3 + 4a + \sqrt {1 - 4{a^2}} }}{2}}  - \sqrt {\frac{{3 - 4a + \sqrt {1 - 4{a^2}} }}{2}} ,\;\;a \in \left[ {0,\;\frac{1}{2}} \right] δίνει μικρότερη μέγιστη τιμή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες