Ώρα εφαπτομένης 78
Ώρα εφαπτομένης 78
διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος στο σημείο και την πλευρά στο .
A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου :
B) Να υπολογισθεί η : , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Είναι
Από νόμο ημιτόνων στο έχουμε
Στο τρίγωνο βρίσκουμε
.
Άρα
Φυσικά είναι και επίσης
Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι και πιάνεται όταν
Τότε, από τις σχέσεις
βρίσκουμε
Από νόμο ημιτόνων στο έχουμε
Στο τρίγωνο βρίσκουμε
.
Άρα
Φυσικά είναι και επίσης
Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι και πιάνεται όταν
Τότε, από τις σχέσεις
βρίσκουμε
Μάγκος Θάνος
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Καλημέρα σε όλους. Ξανακοιτώντας τη λύση μου, βλέπω ότι στο ξεκίνημα είναι όμοια με του Θάνου. Την αναρτώ, επειδή τη συνεχίζω με εργαλεία παραγώγων.
Έστω ,
Είναι . Είναι
Από Ν. Ημιτόνων στο είναι .
Είναι
Είναι .
Η συνάρτηση
έχει παράγωγο
Είναι
που απορρίπτεται και .
Η παρουσιάζει μέγιστο για .
Tότε άρα
Οπότε .
Έστω ,
Είναι . Είναι
Από Ν. Ημιτόνων στο είναι .
Είναι
Είναι .
Η συνάρτηση
έχει παράγωγο
Είναι
που απορρίπτεται και .
Η παρουσιάζει μέγιστο για .
Tότε άρα
Οπότε .
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Σάβ Ιαν 09, 2021 12:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Καλημέρα!KARKAR έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 amΏρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση : και σκέλη : . Από το σημείο
διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος στο σημείο και την πλευρά στο .
A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου :
B) Να υπολογισθεί η : , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .
α) Έστω Λόγω της διχοτόμου είναι Με ν. συνημιτόνων διαδοχικά στα βρίσκω και
Άρα, όπου με παραγώγους βρίσκω για
β) Έχουμε και όπου με ν. συνημιτόνου στο είναι
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Ωραία λύση Γιώργο!
Μάλιστα, μπορούμε να μείνουμε σε απολύτως στοιχειώδη μέσα λέγοντας
και η ισότητα ισχύει ανν
Μάγκος Θάνος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Δεν το σκέφτηκα καν, Θάνο Το μυαλό μου πήγε κατευθείαν στην παράγωγο επειδή ήταν απλή.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Ας δώσω και μια αμιγώς γεωμετρική λύση στο 1ο ερώτημα.
Έστω ο κύκλος που ορίζουν τα . Η τον τέμνει στο και η στο .
Αν το είναι εκτός της , και το ίχνος του στη , τότε , άρα το τμήμα παίρνει την ελάχιστη τιμή του όταν το είναι σημείο της .
Επίσης, είναι με το ίσον όταν ταυτίζονται τα , δηλαδή όταν το είναι σημείο της . Οπότε στην περίπτωση αυτή το παίρνει την ελάχιστη τιμή του.
Για σημείο της . Η είναι στη μεσοκάθετο της .
Από Θ. Διχοτόμων, , έτσι .
Είναι
Έστω ο κύκλος που ορίζουν τα . Η τον τέμνει στο και η στο .
Αν το είναι εκτός της , και το ίχνος του στη , τότε , άρα το τμήμα παίρνει την ελάχιστη τιμή του όταν το είναι σημείο της .
Επίσης, είναι με το ίσον όταν ταυτίζονται τα , δηλαδή όταν το είναι σημείο της . Οπότε στην περίπτωση αυτή το παίρνει την ελάχιστη τιμή του.
Για σημείο της . Η είναι στη μεσοκάθετο της .
Από Θ. Διχοτόμων, , έτσι .
Είναι
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Από το ζητούμενο σημείο φέρνω κάθετη προς την . Προφανώς Αρα ζητάμε το .KARKAR έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 amΏρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση : και σκέλη : . Από το σημείο
διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος στο σημείο και την πλευρά στο .
A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου :
B) Να υπολογισθεί η : , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .
Αρα ζητάμε τον μικρότερο κύκλο με διάμετρο την που προκύπτει όταν ο κύκλος εφάπτεται στην στο .
Εύκολα τώρα προκύπτει ότι το ζητούμενο σημείο είναι η τομή της με την κάθετη από το προς την διχοτόμο της .
Με απλές πράξεις από ομοιότητα τριγώνων κλπ προκύπτει ότι.
Για την
- Συνημμένα
-
- tan78.png (28.43 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Φέρνω στην κάθετη στο και τέμνει τη στο .
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα . Όπου .
Αρκεί λοιπόν να γίνει ελάχιστο . Γι’ αυτό αρκεί ο κύκλος που διέρχεται από
το σταθερό σημείο , έχει το κέντρο του επί της σταθερής πλευράς να εφάπτεται της στο .
Τότε προφανώς το θα είναι ισοσκελές με άμεση συνέπεια και το είναι ισοσκελές , οπότε η είναι κάθετη στην διχοτόμο της .
Κατασκευή.
Φέρνω απ το κάθετη στην διχοτόμος της που τέμνει την στο .
Επειδή και
Με πρόλαβε ο φίλτατος Αλέξανδρος.
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και άρα . Όπου .
Αρκεί λοιπόν να γίνει ελάχιστο . Γι’ αυτό αρκεί ο κύκλος που διέρχεται από
το σταθερό σημείο , έχει το κέντρο του επί της σταθερής πλευράς να εφάπτεται της στο .
Τότε προφανώς το θα είναι ισοσκελές με άμεση συνέπεια και το είναι ισοσκελές , οπότε η είναι κάθετη στην διχοτόμο της .
Κατασκευή.
Φέρνω απ το κάθετη στην διχοτόμος της που τέμνει την στο .
Επειδή και
Με πρόλαβε ο φίλτατος Αλέξανδρος.
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Καμία από τις παραπάνω έξοχες λύσεις , για τις οποίες σας ευχαριστώ , δεν είναι ίδια με την δική μου
Δείτε την και θα καταλάβετε : Αν η κλίση της ευθείας είναι , η ευθεία μας έχει
εξίσωση : και τέμνει το ύψος και την σε σημεία με συντεταγμένες , όπως στο σχήμα .
Τότε : . Εντάξει , τώρα ... παράγωγος .
Αλλά πάντα προκύπτει το ερώτημα της λύσης χωρίς παράγωγο ( που στους διαγωνισμούς δεν συνηθίζεται ) .
Κάνοντας την διαίρεση , παίρνουμε :
, με την ισότητα για : .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Θανάση καλησπέρα. Η πρώτη μου αντιμετώπιση ήταν παρόμοια με αυτήν που αναφέρεις, μόνο που αντί για είχα , (το χούι, βλέπεις), με κατάλληλους περιορισμούς. Σχεδόν το είχα φτάσει στο τέρμα, αλλά μετά είδα την ανάρτηση του Θάνου και έψαξα για κάτι πιο elegant.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Ώρα εφαπτομένης 78
Μια ακόμη..KARKAR έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 09, 2021 10:10 amΏρα εφαπτομένης 78.pngΤο τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση : και σκέλη : . Από το σημείο
διέρχεται ευθεία με θετική κλίση , η οποία τέμνει το ύψος στο σημείο και την πλευρά στο .
A) Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του γινομένου :
B) Να υπολογισθεί η : , κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .
Ο κύκλος τέμνει την στο και άρα ζητούμε το ελάχιστο του
.
Ακόμη έχουμε
Από τους γνωστούς τύπους για εύκολα έχουμε
και με αντικατάσταση του έχουμε
Επίσης και με αντικατάσταση του
έχουμε
Έτσι,που παρουσιάζει ελάχιστη τιμή
για την οπότε
Για ,
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες