Ελάχιστη υποτείνουσα

KARKAR · #1

Το παρόν θέμα απευθύνεται στην Λυκείου , συνεπώς καλόν είναι να λυθεί χωρίς παραγώγους .

: Ελάχιστη υποτείνουσα.png (8.4 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Το σημείο A(0,5)

είναι σταθερό . Επί των ευθειών : y=3

και

κινούνται σημεία B, C

αντίστοιχα , έτσι ώστε : $\widehat{BAC}=90^0$ . Να βρεθεί το ελάχιστο μήκος της υποτείνουσας

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 08, 2021 8:51 pm
Το παρόν θέμα απευθύνεται στην Λυκείου , συνεπώς καλόν είναι να λυθεί χωρίς παραγώγους .

Ελάχιστη υποτείνουσα.pngΤο σημείο είναι σταθερό . Επί των ευθειών : και κινούνται σημεία

αντίστοιχα , έτσι ώστε : $\widehat{BAC}=90^0$ . Να βρεθεί το ελάχιστο μήκος της υποτείνουσας .

Με $B( x,3),\, C(t,0)$ η συνθήκη καθετότητας $\displaystyle{AB\perp AC$ δίνει $\dfrac {5-0}{0-t} \cdot \dfrac {5-3}{0-x} = -1$ . Άρα t=-10/x

, οπότε

$\displaystyle{BC^2 = (x-t)^2+3^2= \left (x + \dfrac {10}{x} \right )^2+9 = \left (|x| + \dfrac {10}{|x|} \right )^2+9 \ge \left ( 2\sqrt { \dfrac {10|x|}{|x|} \right )^2+9 = 49}$ με ισότητα όταν $x = \dfrac {10}{x}$ , και λοιπά.

#3

Χωρίς Αναλυτική: το μέσον

της υποτείνουσας

κείται επί σταθερής ευθείας ( $y=\dfrac{3}{2}$ ), ενώ η υποτείνουσα

είναι σταθερά διπλάσια του |AD|

. Αρκεί επομένως να ελαχιστοποιηθεί το μήκος |AD|

, κάτι που συμβαίνει ακριβώς όταν η

είναι κατακόρυφη: αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν η

είναι κάθετη στην $y=\dfrac{3}{2}$ , οπότε $|AD|=5-\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}$ και $|BC|=2\cdot |AD|=7$ .

KARKAR · #4

Δεύτερο ερώτημα :

: Ελάχιστη υποτείνουσα συμπλ.png (13.71 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές

Φέρω : $AO \perp \varepsilon$ και $AT \perp CB$ , το οποίο τέμνει την y=3

στο

.

Αν : $\widehat{ASB}=\widehat{COT}$ , υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

#5

: ελάχιστη υποτείνουσα_1_ανάλυση.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

Το μέσο

της

διαγράφει τη μεσοπαράλληλη των δύο δεδομένων ευθειών .

Αν

η προβολή του στην

θα είναι $\boxed{AM \geqslant AK = \frac{3}{2} \Rightarrow B{C_{\min }} = 7}$

Με πρόλαβε ο Γιώργος την αφήνω λόγω σχήματος .

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 08, 2021 10:01 pm
Δεύτερο ερώτημα :

Ελάχιστη υποτείνουσα συμπλ.png Φέρω : $AO \perp \varepsilon$ και $AT \perp CB$ , το οποίο τέμνει την στο .

Αν : $\widehat{ASB}=\widehat{COT}$ , υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: ελάχιστη υποτείνουσα_ερώτημα 2.png (31.25 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές

Ας είναι

τα σημεία τομής της

με $AO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ . Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα , $ATOC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AFTB$ έχω:

$\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_5}} = \widehat {{a_4}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\theta _{}}}\, = \widehat {{a_7}} + 90^\circ = \widehat \omega \, \Rightarrow GA = GS \Rightarrow \widehat {{a_5}} + \widehat {{a_6}} = \widehat {ASG} = \widehat {{a_3}}\, + \widehat {{a_7}} \Rightarrow \,\boxed{\,\widehat {{a_6}} = \,\widehat {{a_7}}}\,\,$

Που μας εξασφαλίζει ότι $\boxed{TB = TF}\,\,\left( 1 \right)$ , ακόμα δε

$\widehat {FTC} = \widehat {{a_6}}\, + \widehat {{a_7}} \Rightarrow \boxed{\widehat {FTO}\, = \widehat {CAB} = 90^\circ }\,\,\left( 2 \right)$ . Ενώ $\boxed{\widehat {TOF} = \widehat {{a_7}}\,}\,\,\left( 3 \right)$
.
Από τις $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)\,\,,\,\,\left( 3 \right)$ τα ορθογώνια τρίγωνα $TAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TOF$ είναι ίσα , οπότε : $\displaystyle \boxed{AB = FO = 3}$ .

Ελάχιστη υποτείνουσα

Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Μέλη σε σύνδεση