Μέγιστη τιμή

#1

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}, \ \ x\ne 0.}$

#2

Καλησπέρα σε όλους. Μια απόπειρα με "αλγεβρικά" εργαλεία.

Αν $\displaystyle x > 0$ , είναι $\displaystyle A = \frac{{{x^2} + 2 - \sqrt {{x^4} + 4} }}{x} = x + \frac{2}{x} - \sqrt {{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}}}$

Θέτω $\displaystyle x + \frac{2}{x} = a > 0 \Rightarrow {x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} = {a^2} - 4$

Ισχύει $\displaystyle a = x + \frac{2}{x} \ge 2\sqrt 2 \Rightarrow {a^2} - 4 \ge 4$ , με το ίσον όταν $\displaystyle x = \sqrt 2$ .

Είναι $\displaystyle A = a - \sqrt {{a^2} - 4} = \frac{4}{{a + \sqrt {{a^2} - 4} }} \le 2\sqrt 2 - 2$ , με το ίσον όταν $\displaystyle x = \sqrt 2$ .

Aν x< 0

, τότε

, αφού $\displaystyle {x^2} + 2 > \sqrt {{x^4} + 4}$ , άρα το μέγιστο είναι η παραπάνω τιμή.

#3

Καλησπέρα!

Έστω $\displaystyle f(x) = \frac{{{x^2} + 2 - \sqrt {{x^4} + 4} }}{x},x \ne 0.$ Είναι $\displaystyle f'(x) = \frac{{({x^2} - 2)\left( {\sqrt {{x^4} + 4} - {x^2} - 2} \right)}}{{{x^2}\sqrt {{x^4} + 4} }},x \ne 0$

Η

είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle ( - \infty , - \sqrt 2 ],[\sqrt 2 , + \infty )$ και γνησίως αύξουσα στα $\displaystyle [ - \sqrt 2 ,0),(0,\sqrt 2 ].$

Είναι ακόμα $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0$ (*)

H

έχει λοιπόν στο $\boxed{{x_0} = \sqrt 2 }$ ολικό μέγιστο ίσο με $\boxed{f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$

(*) Τα όρια απαιτούν φυσικά αιτιολόγηση. Τα αφήνω για εξάσκηση των μαθητών.

#4

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 5:29 pm
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}, \ \ x\ne 0.}$

Χωρίς βλάβη x>0

. Από $p+q\ge 2\sqrt {pq}$ έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x} = \dfrac {4x}{x^2+2+\sqrt{x^4+4}} \le \dfrac {4x}{2\sqrt {x^2\cdot 2}+\sqrt{ 2\sqrt {x^4\cdot 4}}}= \dfrac {4x}{2x\sqrt {2}+2x }= \dfrac {2}{\sqrt 2 +1} =2(\sqrt 2 -1) }$

με ισότητα όταν $x=\sqrt 2$ .

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση