Μέγιστη τιμή

Συντονιστές: silouan, rek2

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6163
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Μέγιστη τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Δεκ 31, 2020 5:29 pm

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle{\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}, \ \ x\ne 0.}


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστη τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Δεκ 31, 2020 6:25 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μια απόπειρα με "αλγεβρικά" εργαλεία.

Αν  \displaystyle x > 0, είναι \displaystyle A = \frac{{{x^2} + 2 - \sqrt {{x^4} + 4} }}{x} = x + \frac{2}{x} - \sqrt {{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}}}

Θέτω \displaystyle x + \frac{2}{x} = a > 0 \Rightarrow {x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} = {a^2} - 4

Ισχύει  \displaystyle a = x + \frac{2}{x} \ge 2\sqrt 2  \Rightarrow {a^2} - 4 \ge 4, με το ίσον όταν  \displaystyle x = \sqrt 2 .

Είναι  \displaystyle A = a - \sqrt {{a^2} - 4}  = \frac{4}{{a + \sqrt {{a^2} - 4} }} \le 2\sqrt 2  - 2, με το ίσον όταν  \displaystyle x = \sqrt 2 .

x< 0, τότε A< 0, αφού  \displaystyle {x^2} + 2 > \sqrt {{x^4} + 4} , άρα το μέγιστο είναι η παραπάνω τιμή.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη τιμή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 31, 2020 7:32 pm

Καλησπέρα!

Έστω \displaystyle f(x) = \frac{{{x^2} + 2 - \sqrt {{x^4} + 4} }}{x},x \ne 0. Είναι \displaystyle f'(x) = \frac{{({x^2} - 2)\left( {\sqrt {{x^4} + 4}  - {x^2} - 2} \right)}}{{{x^2}\sqrt {{x^4} + 4} }},x \ne 0

Η f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle ( - \infty , - \sqrt 2 ],[\sqrt 2 , + \infty ) και γνησίως αύξουσα στα \displaystyle [ - \sqrt 2 ,0),(0,\sqrt 2 ].

Είναι ακόμα \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 0 (*)

H f έχει λοιπόν στο \boxed{{x_0} = \sqrt 2 } ολικό μέγιστο ίσο με \boxed{f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}


(*) Τα όρια απαιτούν φυσικά αιτιολόγηση. Τα αφήνω για εξάσκηση των μαθητών.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστη τιμή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 31, 2020 9:31 pm

socrates έγραψε:
Πέμ Δεκ 31, 2020 5:29 pm
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle{\frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x}, \ \ x\ne 0.}
Χωρίς βλάβη x>0. Από p+q\ge 2\sqrt {pq} έχουμε

\displaystyle{ \dfrac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x} = \dfrac {4x}{x^2+2+\sqrt{x^4+4}} \le \dfrac {4x}{2\sqrt {x^2\cdot 2}+\sqrt{ 2\sqrt {x^4\cdot 4}}}=  \dfrac {4x}{2x\sqrt {2}+2x }= \dfrac {2}{\sqrt 2 +1} =2(\sqrt 2 -1) }

με ισότητα όταν x=\sqrt 2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης