Εξίσωση

Συντονιστές: silouan, rek2

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6163
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Δεκ 31, 2020 5:28 pm

Έστω f(x) = x^2 + 6x + c.
Να βρείτε τις τιμές του c για τις οποίες η εξίσωση f(f(x))=0 έχει ακριβώς τρεις, διαφορετικές ανά δύο, πραγματικές λύσεις.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 66
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm
Τοποθεσία: Σητεία Κρήτης

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Πέμ Δεκ 31, 2020 6:13 pm

Θα δείξουμε ότι πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύμου μας να είναι ίση με 0. Έστω ότι είναι ίση με 0, τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική λύση, έστω k, ενώ η εξίσωση f(x) = k έχει το πόλύ δύο λύσεις. Αν η διακρίνουσα του τριωνύμου μας είναι μικρότερη του μηδενός τότε η εξίσωση προφανώς δεν έχει καμία λύση. Άρα θέλουμε D> 0. Η εξίσωση λοιπόν f(x) = 0 θα έχει δύο λύσεις, θέλουμε λοιπόν D = 36 -4c>0 \Leftrightarrow c<9 , έστω x_1,x_2. Έχουμε x_1 + x_2 = -6. Όμως θέλουμε η εξίσωση f(f(x))= 0 να έχει ακριβώς 3 λύσεις, άρα αναγκαστικά μία από τις παρακάτω εξισώσει θα έχει μοναδική λύση και η άλλη 2 λύσεις, αλλιώς θα είχαμε 4 λύσεις: x^2 +6x +c = x_1, x^2 + 6x + c = x_2 Είναι ισοδύναμα: x^2 +6x +c -x_1 = 0 και x^2 +6x + c + 6 +x_1 = 0 Αν η πρώτη έχει δύο και η δεύτερη μία, έχουμε:  D_1 = 36 -4c +4x_1 > 0 και D_2 = 12 -4c - 4x_1 = 0 \Leftrightarrow 4x_1 = -4c + 12. Τελικά παίρνουμε 48> 8c \Leftrightarrow 6>c. Ακόμα αντικαθιστόντας στην f(x) το c με το m στην περίπτωση που η δεύτερη εξίσωση έχει μοναδική λύση:παίρνουμε x_1^2 +7x_1 + 9 = 0 \Leftrightarrow x_1 = \frac{-7 + \sqrt{13}}{2} ή x_1 = \frac{-7 - \sqrt{13}}{2} Άρα  c = 9 +  \frac{-7 +\sqrt{13}}{2} ή  c = 9 +  \frac{-7 -\sqrt{13}}{2} Κρατάμε μόνο τη δεύτερη τιμή γιατί η πρώτη είναι μεγαλύτερη του 6(Υπάρχει κάπου λάθος αλλά δε μπορώ να βρω που.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες