Από σταθερό σημείο

[KARKAR]

Από σταθερό σημείο.png (18.42 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Σημείο κινείται στο μικρό τόξο , του περικύκλου οξυγώνιου τριγώνου . Οι ευθείες

τέμνουν τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται

από σταθερό σημείο , του οποίου βρείτε τις συντεταγμένες , αν : .

Εφαρμογή : .

[S.E.Louridas]

Σημείο κινείται στο μικρό τόξο , του περικύκλου οξυγώνιου τριγώνου . Οι ευθείες τέμνουν τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο , του οποίου βρείτε τις συντεταγμένες , αν : . Εφαρμογή : .

Γεια σας, ας δούμε το πρώτο ερώτημα ( Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο) Γεωμετρικά.

Επειδή τα σημεία είναι ομοκυκλικά, ως γνωστόν το σημείο Miquel, έστω δηλαδή το σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα θα είναι σημείο της Από το ίδιο σημείο διέρχονται οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα Αν θεωρήσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο αυτός θα τέμνει την σε σημείο , όχι κατ’ ανάγκην διάφορο του Τότε παίρνουμε: Ταυτόχρονα έχουμε: Από τις σχέσεις προκύπτει ότι το σημείο είναι σταθερό,
ως τομή των εφαπτομένων ευθειών του κύκλου στα σημεία

78.png (186.27 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

[rek2]

Δηλαδή, Σωτήρη Φίλε, με άλλα λόγια, η ST τέμνει την ΟΑ στον πόλο της PQ, οπότε η PQ διέρχεται από τον πόλο της ΟΑ.

[S.E.Louridas]

Δηλαδή, Σωτήρη Φίλε, με άλλα λόγια, η ST τέμνει την ΟΑ στον πόλο της PQ, οπότε η PQ διέρχεται από τον πόλο της ΟΑ.

Καλημέρα Κώστα και σίγουρα και λόγω των ημερών εύχομαι από καρδιάς Χρόνια Πολλά και Καλά σε εσένα και τους Ανθρώπους σου.
Απόλυτα ΝΑΙ στην αναφορά σου αφού η άριστη διαδρομή επίλυσης που αναφέρεις προδικάζεται και από το πλήρες εγγεγραμμένο τετράπλευρο.
Απλά προτίμησα την επίλυση με μεταφορά γωνιών, χωρίς μετρική Γεωμετρία και επειδή η απόδειξη του θεωρήματος Miquel είναι σύντομη. Θα μπορούσε μάλιστα να ενσωματωθεί στην επίλυση, χωρίς βέβαια αναφορά στον Miquel.

[Doloros]

Απο σταθερό σημείο_KARKAR_29_12_20.png (21.1 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Έστω η τομή των εφαπτόμενων του κύκλου στα . Τότε η πολική του ως προς τον κύκλο είναι η ευθεία .

Άμεση συνέπεια : για οποιοδήποτε σημείο της η πολική του θα διέρχεται από το .

Ας είναι τώρα το σημείο τομής των διαγώνιων του εγγεγραμμένου τετράπλευρου .

Οι πολική του ως προς τον κύκλο διέρχεται από τα και η πολική του από τα .

Θεωρώ τώρα την ευθεία που τέμνει την στο σημείο , μη γνωρίζοντας ωστόσο ότι διέρχεται από το .

Επειδή η πολική του διέρχεται από το και η πολική του διέρχεται από το , τα σημεία ανήκουν σε μια και μόνο ευθεία .

Χρόνια πολλά με υγεία στους Σωτήρη και Κώστα .

Καθώς έγραφα με υπερφαλαγγίσατε αμφότεροι . Την απάντηση του Κώστα δεν την είχα δει.

Αλλά τη λύση του Σωτήρη ναι, από χθες βράδυ και ήταν ο προπομπός για να γράψω τα πιο πάνω .

Πιστεύω να βρω χρόνο να γράψω λύση με αναλυτική Γεωμετρία, που προβλέπει και η εκφώνηση.