Τόπος κορυφής

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12521
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τόπος κορυφής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 26, 2020 12:29 pm

Τόπος  κορυφής.png
Τόπος κορυφής.png (9.54 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές
Η κορυφή B του τριγώνου ABC είναι σταθερή ( το B(1,0) ) , ενώ η C κινείται στον Ox ,

δεξιότερα του B , ώστε : BC=a , a>1 . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής A ,

αν : AB=a-1 , AC=a+1 . Για ποια τιμή του a , προκύπτει : \tan\hat{B}=2\sqrt{2} ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13319
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τόπος κορυφής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 26, 2020 1:38 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 12:29 pm
Τόπος κορυφής.pngΗ κορυφή B του τριγώνου ABC είναι σταθερή ( το B(1,0) ) , ενώ η C κινείται στον Ox ,

δεξιότερα του B , ώστε : BC=a , a>1 . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής A ,

αν : AB=a-1 , AC=a+1 . Για ποια τιμή του a , προκύπτει : \tan\hat{B}=2\sqrt{2} ;
Είναι A(x,y), B(1,0), C(1+a,0) οπότε έχουμε (a-1)^2=AB^2=(x-1)^2+y^2 και (a+1)^2=AC^2=(x-1-a)^2+y^2. Λύνοντας το σύστημα (αρχίζουμε με αφαίρεση κατά μέλη) θα βρούμε

\displaystyle{x= \dfrac {1}{2}a-1, y^2= \dfrac {3}{4}a^2-3}.

Λύνοντας ως προς a την πρώτη, τουτέστιν a=2x+2, και θέτοντας στην δεύτερη, θα βρούμε y^2=3x^2+6x (υπερβολή).

To \tan B = \dfrac {y}{x-1} , εδώ y^2=(2\sqrt 2)^2(x-1)^2 ή αλλιώς 3x^2+6x=8(x^2-2x+1) που λύνεται άμεσα. Βρίσκω, δαίμονα τυπαγραφικών παραμονούντος, x = 4 (η άλλη ρίζα μικρότερη του 1).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες