Το μικρότερο τμήμα

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το μικρότερο τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 23, 2020 8:46 pm

Το  μικρότερο  τμήμα.png
Το μικρότερο τμήμα.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
Ευθεία \varepsilon εφάπτεται σε κύκλο (O,r) στο άκρο A της διαμέτρου AB . Από κινητό σημείο

S της \varepsilon , φέρω το τμήμα SB , το οποίο τέμνει τον κύκλο στο T . Η TO τέμνει την \varepsilon

στο σημείο P . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος SP .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7924
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το μικρότερο τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 24, 2020 1:06 am

Ας είναι , AS = x\,\,,\,\,AP = y και Z το άλλο σημείο που TP τέμνει τον κύκλο .

Επειδή ZA//TS και ό λόγος των προβολών των καθέτων πλευρών ορθογωνίου

τριγώνου προς την υποτείνουσα ισούται με το λόγων των τετραγώνων τους , θα έχω:
Μικρότερο τμήμα_KARKAR.png
Μικρότερο τμήμα_KARKAR.png (17.19 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{y}{{x + y}} = \frac{{ZA}}{{TS}} \hfill \\ 
  \frac{{ZA}}{{TS}} = \frac{{TB}}{{TS}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{S^2}}} = \frac{{4{r^2}}}{{{x^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y = \frac{{4{r^2}x}}{{{x^2} - 4{r^2}}} \hfill \\ 
  x + y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 4{r^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right..

Εύκολα μετά βρίσκω ότι για x = 2\sqrt 3 r έχω μέγιστη τιμή , \boxed{f\left( {2\sqrt 3 r} \right) = 3\sqrt 3 r}

Τότε το τρίγωνο OBT είναι ισόπλευρο, AS = 2AP\,\,,\,\,PZ = AZ\,,\,\,TS = 3TB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TP = TS = 3r.

Δηλαδή πολύ πιθανόν να έχει απλούστατη λύση. Ίδωμεν


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το μικρότερο τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 24, 2020 9:52 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 23, 2020 8:46 pm
Το μικρότερο τμήμα.pngΕυθεία \varepsilon εφάπτεται σε κύκλο (O,r) στο άκρο A της διαμέτρου AB . Από κινητό σημείο

S της \varepsilon , φέρω το τμήμα SB , το οποίο τέμνει τον κύκλο στο T . Η TO τέμνει την \varepsilon

στο σημείο P . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος SP .
Θέτουμε \angle OBT=\theta, οπότε \angle BOT=180-2\theta. Προσοχή, έχουμε περιορισμούς, Πρώτον και προφανές \theta < \frac {\pi}{2}. Δεύτερον, επειδή το T πρέπει να είναι "βορειότερα" του O, αλλιώς η OT δεν τέμνει την ε από την πλευρά που δείχνει το σχήμα, έχουμε \theta > \frac {\pi}{4}.

Αν η ακτίνα του κύκλου είναι, χωρίς βλάβη, 1, έχουμε AS+PA=2\tan \theta + \tan (180-2\theta)= 2\tan \theta - \tan (2\theta). H παράγωγός του είναι 2\tan ^2 \theta - 2\tan ^2(2\theta)=2(\tan \theta - \tan (2\theta))(\tan \theta + \tan (2\theta)), που εύκολα μπορούμε να βρούμε τις ρίζες και κρατάμε αυτήν που προέρχεται από την \theta = 180-2 \theta, δηλαδή \theta = 60. Άλλος τρόπος είναι από την, π.χ., \tan \theta - \tan (2\theta)=0 να πούμε για t=\tan \theta ότι t= \dfrac {2t}{1-t^2} από όπου, πέραν της t=0, έχουμε και τις t^2=3, και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10467
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το μικρότερο τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 24, 2020 5:51 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 23, 2020 8:46 pm
Το μικρότερο τμήμα.pngΕυθεία \varepsilon εφάπτεται σε κύκλο (O,r) στο άκρο A της διαμέτρου AB . Από κινητό σημείο

S της \varepsilon , φέρω το τμήμα SB , το οποίο τέμνει τον κύκλο στο T . Η TO τέμνει την \varepsilon

στο σημείο P . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος SP .
Έστω SP=a και M μέσο του AS. Θέτω AM=MS=x. Είναι \displaystyle OM = \frac{{BS}}{2}.
Το μικρότερο τμήμα.png
Το μικρότερο τμήμα.png (17.12 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές
\displaystyle \frac{{a - x}}{a} = \frac{{OM}}{{TS}} = \frac{{BS}}{{2TS}} \Leftrightarrow \frac{{2(a - x) - a}}{a} = \frac{{BT}}{{TS}} = \frac{{{r^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \boxed{a = \frac{{2{x^3}}}{{{x^2} - {r^2}}}}

Εύκολα τώρα βρίσκω, \boxed{{a_{\min }} = 3r\sqrt 3} όταν \boxed{x=\frac{a}{3}=r\sqrt 3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης