Εξίσωση και τραπέζιο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εξίσωση και τραπέζιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 15, 2020 1:17 pm

Α) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle (x - 1)(x - 5)(x - 9)(x - 13) + 31 = 0

Β) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου που έχει βάσεις τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη

από τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και μη παράλληλες πλευρές τις άλλες δύο ρίζες.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση και τραπέζιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 15, 2020 4:05 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Δεκ 15, 2020 1:17 pm
Α) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle (x - 1)(x - 5)(x - 9)(x - 13) + 31 = 0

Β) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου που έχει βάσεις τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη

από τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και μη παράλληλες πλευρές τις άλλες δύο ρίζες.
To μυστικό είναι ότι 1+13=5+9.

Γράφουμε την παραπάνω ως

\displaystyle [(x - 1)(x - 13)][(x - 5)(x - 9) + 31 = 0, ισοδύναμα

\displaystyle{[x^2-14x+13][x^2-14x+45]+31=0} οπότε με t=x^2-14x+13 έχουμε

\displaystyle{t(t+32)+31=0}

H δευτεροβάθμια αυτή έχει ρίζες t=-1,\, t=-31 οπότε τώρα λύνουμε τις

\displaystyle{x^2-14x +13   = -1,\,\,\, x^2-14x+13=-31}

Θα βρούμε \displaystyle{ 7-\sqrt {35}, 7+\sqrt {35}} και \displaystyle{ 7-\sqrt {5}, 7+\sqrt {5}}, αντίστοιχα.

Για το εμβαδόν τις κατατάσσουμε πρώτα κατά σειρά μεγέθους, που είναι \displaystyle{ a=7-\sqrt {35} < b= 7-\sqrt {5} < c=7+\sqrt {5}<d= 7+\sqrt {35}}

Φέρνοντας παράλληλη της μίας από τις μη παράλληλες πλευρές σχηματίζεται τρίγωνο με πλευρές b,c και d-a=2\sqrt {35}. Έχει περίμετρο

2s= b+c+(d-a)=14+2\sqrt {35}, οπότε από τον τύπο του Ήρωνα βρίσκουμε το εμβαδόν του E= \sqrt {420} (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις αλλά δεν είναι δύσκολο γιατί με διάφορες διαφορές τετραγώνων που εμφανίζονται, οι παράγοντας παίρνουν ακέραιες τιμές). Άρα το ύψος του είναι

\displaystyle{ \dfrac {2E}{d-a}} και το ζητούμενο εμβαδόν είναι  \frac {1}{2}(a+d)\cdot  \dfrac {2E}{d-a} +E=\frac {1}{2}(14)\cdot  \dfrac {2E}{2\sqrt 35} +E = \dfrac {7\sqrt {35}}{35}E+E=...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εξίσωση και τραπέζιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 15, 2020 7:07 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Δεκ 15, 2020 1:17 pm
Α) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle (x - 1)(x - 5)(x - 9)(x - 13) + 31 = 0

Β) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου που έχει βάσεις τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη

από τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και μη παράλληλες πλευρές τις άλλες δύο ρίζες.
Το πρώτο όπως ο Κ. Λάμπρου .


β)Αν ABCD\left( {AB//CD} \right) το τραπέζιο με AB//CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB > CD , θεωρώ τις προβολές E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z των D,C στην AB.

Θέτω ZC = a\,\,,\,\,AE = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = CZ = y

Ισχύουν: \left\{ \begin{gathered} 
  a + b = 7 + \sqrt {35}  - \left( {7 - \sqrt {35} } \right) = 2\sqrt {35} \,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 
  {a^2} = {\left( {7 + \sqrt 5 } \right)^2} - {y^2}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ 
  {b^2} = {\left( {7 - \sqrt 5 } \right)^2} - {y^2}\,\,\left( 3 \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Εξίσωση και τραπέζιο.png
Εξίσωση και τραπέζιο.png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Με αφαίρεση κατά μέλη των \left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right) λαμβάνοντας υπ’ όψη την \left( 1 \right) έχω:

a - b = 2\sqrt 7 οπότε και λόγω πάλι της \left( 1 \right) προκύπτει : \boxed{a = \sqrt {35}  + \sqrt 7 } .

έτσι τώρα η \left( 2 \right) δίδει : {y^2} = 12 \Rightarrow y = 2\sqrt 3  \Rightarrow \boxed{\left( {ABCD} \right) = 14\sqrt 3 }.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση και τραπέζιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 18, 2020 4:57 pm

Λίγο διαφορετικά για τη λύση της εξίσωσης.

Παρατηρούμε ότι ο x-7=y είναι αριθμητικός μέσος των παραστάσεων \displaystyle x - 1,x - 5, x - 9, x - 13.

Είναι λοιπόν \boxed{x=y+7} και η εξίσωση γράφεται: \displaystyle (y + 6)(y + 2)(y - 2)(y - 6) + 31 = 0

\displaystyle ({y^2} - 36)({y^2} - 4) + 31 = 0 \Leftrightarrow {y^4} - 40{y^2} + 175 = 0 \Leftrightarrow y^2=35 ή y^2=5, απ' όπου

\boxed{x = 7 \pm \sqrt {35} } ή \boxed{x = 7 \pm \sqrt 5 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης